基于Rectangular算子的分數階微分器傳輸函數可以寫為：

這里使用連續(xù)分數擴充(CFE)法將展開上式，實現對函數的有限階逼近。下面列出T=0．001 s時，O．5階微分Rectangular分數階微分濾波器傳遞函數GvRn(z)：

GvRn(z)中v表示微分階數；n表示濾波器階數。
1．3 基于Tustin算子的IIR分數階數字微分濾波器
Tustin算子表示為：

基于Tustin算子的分數階微分器傳輸函數可以寫為：

使用連續(xù)分數擴充(CFE)方法將上式展開，完成對函數的有限階逼近。下面列出了T=0．001 s時，0．5階微分Tustin分數階微分濾波器傳遞函數GvTn(z)：

GvTn中v表示微分階數；n表示濾波器階數。
圖2是基于典型Rectangular算子、Tustin算子和simpson算子的0．5階微分濾波器的頻率特性曲線，所實現的濾波器階數都是5階。從圖2中可以看出3種濾波器在低頻區(qū)域，幅度曲線還能與理想幅度一致，但隨著頻率增加，特別是在高頻區(qū)域，誤差迅速增大。

從圖2中可以看出，基于Rectangular濾波器的幅度特性最好，但相位特性明顯比另兩種算子的差。Tustin的優(yōu)點在于其相位特性非常好，相位曲線絕大部分區(qū)域都與理想頻率響應相位曲線重合。Tustin和Sirepson有很強互補性。因為兩者在低頻的表現都比較好，雖然在高頻都有明顯誤差，但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側。因此，這里認為通過這3種算子的相互結合，可以得到一種新的、頻率特性更好的微分算子。

2 通過內插結合形成新分數階微分濾波器
2．1 基于Rectangular算子和Tustin算子內插結合的分數階微分濾波器
通過觀察發(fā)現矩形(Rectangular)濾波器和梯形(Tustin)濾波器分別具有最好的幅頻和相頻特性，因此將這兩種濾波器通過內插結合，可獲得更好的近似理想積分器。
由于微分和積分的互逆性，首先推導新的積分算子HA(z)。用下標A表示結合后積分器，用下標R表示矩形積分器，用下標T表示梯形積分器，其積分算子的傳輸函數由Rectangular算子和Tustin算子按3：1的比率結合獲得。積分器傳輸函數如下所示：

其零點不在單位圓內將零點z=一7映射到z=一1／7，通過乘以7對幅度進行相應補償，獲得最小相位積分器如下：

下面是T=O．001 s時，使用該算子實現0．5階微分的IIR分數階微分濾波器傳遞函數GvAn(z)：

2．2 基于Tustin算子和Simpson算子內插結合的分數階微分濾波器
同樣通過觀察發(fā)現Tustin算子和Simpson算子雖然在高頻都有明顯誤差，但兩者的幅度曲線分別位于理想頻率曲線的上下兩側，以期通過內插結合相互抵消，而獲得性能更好的濾波器。新的積分算子HB(z)傳輸函數通過梯形(Tustin)算子和辛普森(Simpson)算子按2：3比例結合獲得。