超聲傳感器S放在距裂紋中心線高度為R的上方（圖-1）。在超聲測量時，超聲傳感器向裂紋發(fā)射超聲波，設發(fā)射的超聲波是頻率為其中心頻率的純頻波，具有以下的形式： (3)
式中，Α0 是信號幅值；ω0 是超聲波中心頻率。

圖-1 分形微裂紋幾何示意圖

事實上，測試中用到的超聲波往往是脈沖波，所以，在研究中采用連續(xù)波被高斯函數調制的形式，有以下的表達式：
(4)
式中，g(t)是零均值的高斯函數，可表示如下：
(5)
實測中，把超聲傳感器S當作一個點源，向外發(fā)射球面脈沖波。當點源S與裂紋間的距離r 遠大于超聲傳感器的晶片直徑d (r>>d)時，裂紋上一點在時刻 t 接收到的超聲波為：
(6)
式中， c 超聲波的傳播速度。

當超聲波到達裂紋表面時，在裂紋表面產生散射。目前還沒有確切地算法可用來計算超聲波的散射回波聲場。在研究中，我們把它當作二次點源，向外輻射球面波。我們將利用基爾霍夫近似來計算由裂紋散射的超聲回波。此時，超聲回波可看作由裂紋表面上的二次點源輻射的球面波的合成，并假設超出超聲波照射范圍的裂紋上的點沒有聲波的散射，散射回波是關于超聲傳感器所在的位置的中心線對稱的，在計算超聲回波時，忽略裂紋上的多次散射回波，不計裂紋上沒有被直接照射的點的超聲回波，并且認為裂紋都是近軸分布的，我們可以得到下面的超聲回波的表達式：
(7)
式中， 是超聲傳感器與裂紋上點的距離。
是超聲傳感器到裂紋中心線的垂直距離。
是超聲傳感器中心線到超聲最大照射范圍的單邊長度。

從圖-1所示的幾何關系可以得到：
(8)
用方程式(8)中的 替代超聲回波計算式中的 ，可以將超聲回波化為：
(9)
特別地，我們可以取某一時刻 的超聲回波作為研究對象，時刻 可以選為 ，即超聲波從傳感器中心線返回時刻。則在這一時刻的超聲回波可以表示為：
(10)
式中,

方程 (10) 就是關于超聲散射回波與微裂紋分形參數（ Hurst指數）的關系模型。當方程中除Hurst指數外的其它參數給定時，我們就可以根據試驗測得的時刻τ的裂紋散射回波D(τ)來確定裂紋的分形參數H。 我們可以利用這個關系來實現微裂紋分形參數的測量。