頻率響應(yīng)法-相對穩(wěn)定性分析
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對應(yīng)于圖5－52的零分貝線上的點(diǎn)，即開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線與
軸的交點(diǎn)；圖5－50中相位穿越頻率
的點(diǎn)在Bode圖上是對應(yīng)相角
的點(diǎn)，即相頻曲線與 水平線的交點(diǎn)。從圖5－50可見，相頻特性曲線上對應(yīng)于增益穿越頻率
的點(diǎn)位于 水平線的上方。 |
| 圖5－52 穩(wěn)定系統(tǒng)的Bode圖 |
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| 圖5－53 不穩(wěn)定系統(tǒng)的Bode圖 |
在Bode圖上，增益裕量常用分貝數(shù)表示，即
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上式表示系統(tǒng)在到達(dá)臨界穩(wěn)定前，允許系統(tǒng)增益增大的倍數(shù)。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，由于
＜1，即
為負(fù)，由式（5－56）可知，增益裕量為正，這時對數(shù)幅頻特性曲線上對應(yīng)
的點(diǎn)在
軸下方，如圖5－52；當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時，相應(yīng)地，可將圖5－51繪制在Bode圖上，如圖5－53，這時相位裕量和幅值裕量均是負(fù)的。
增益裕量和相位裕量通常作為設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)。大的增益裕量和相位裕量表明控制系統(tǒng)是非常穩(wěn)定的，但此時控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度將是非常慢的，而當(dāng)增益裕量接近1或相位裕量接近零時，則對應(yīng)一個高度振蕩的系統(tǒng)。因此從工程的角度出發(fā)，一般控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時采用如下的裕量范圍是比較合適的：
在
到
之間，增益裕量大于6dB。
同時需要指出，單獨(dú)使用增益裕量或相位裕量作性能分析，都不足以說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，必須同時給出這兩個穩(wěn)定裕量。對于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這兩個指標(biāo)是統(tǒng)一的，但有時情況并非如此，圖5－54a、圖5－54b分別表示了這兩種情況下的頻率特性。
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| 圖5－54 開環(huán)控制系統(tǒng)的奈氏圖 (a) 好的幅值裕量和差的相角裕量 (b) 好的相角裕量和差的幅值裕量 |
例5－10 試求：（1）K＝1時系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量
，相位裕量
。
例5－10 試求：（1）K＝1時系統(tǒng)的相位裕量和增益裕量。（2）要求通過增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕量 ，相位裕量 。
已知一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為
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解 ?。?）基于在
處的開環(huán)頻率特性的相角為
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即
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由三角函數(shù)的性質(zhì)，有
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求得
。
同時，在 
處的開環(huán)對數(shù)幅值為
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則
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根據(jù)K＝1時的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，可知系統(tǒng)的
，從而
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此小題也可用Matlab直接求解。
g=tf(1,conv([1,0],conv([0.2,1],[0.05,1])))
Transfer function:
1
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0.01 s^3 + 0.25 s^2 + s
margin(g)
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