重點討論了 Koch曲線的單極天線特性，它的分維數(shù)為㏑4/㏑3，當保持天線的高度不變時，見圖1(a)所示，隨著迭代次數(shù)的增加，曲線的長度將按4/3的倍數(shù)增 加，天線的輻射阻抗增加，諧振頻率減小，并趨于某一極限值，同時品質(zhì)因數(shù)Q值減小，也趨于某一有限值。當利用兩個Koch 曲線作為天線的兩個振子時，即形成了Koch 雙極子曲線。如圖1(b)所示，Koch雙極曲線的長度也隨著迭代次數(shù)的增加而增加，輻射阻抗相應的增加，諧振頻率逐漸減小，并趨于某一極限值。當保持雙 極曲線的諧振頻率不變時，Koch曲線的長度在增加而高度在減小，見表1和圖7，從表中我們發(fā)現(xiàn)，隨著迭代次數(shù)的增加，天線的高度逐漸減小而趨向于某一有 限值，而長度卻無限增長。所以這種設計有利于天線的小型化,當然隨著迭代次數(shù)的增加，也就相應的增加了天線設計的復雜度，因此，曲線的迭代次數(shù)不宜過大。

表1 Koch分形雙極天線的高度與長度隨迭代次數(shù)增加的變化

圖7 Koch分形雙極天線的高度與長度隨迭代次數(shù)增加的變化(這里只畫了一半)

具 有尺寸縮減性能的分形天線還有分形貼片天線。Hilbert分形天線，它的生成過程如圖4所示，對Minkowski分形環(huán)天線進行了深 入的分析，表明Minkowski分形天線具有尺寸縮減性，同時隨著分形迭代次數(shù)的增加，天線的尺寸縮減效應將趨于一極限值等。

3分形理論在天線設計中的應用

分形天線的自相似性能減小分形天線元的整體寬度，同時和歐幾里德幾何天線元保持同樣的性能，因為各個天線元具有同樣的諧振頻率和相同的輻射方向圖。分形元能夠改善運用歐氏幾何天線元的線性天線陣列的設計，運用分形元來改善和提高天線陣列的性能，這里討論兩種方法：

一 種方法就是減小天線元之間的相互耦合。因為線性陣列中天線元之間的相互耦合導致整個天線的輻射方向圖性能下降。相互耦合還能改變天線元的激發(fā)電流。因此， 如果在陣列天線的設計過程中忽略天線元之間的內(nèi)部耦合作用，那么天線的輻射方向圖就會受到影響，通常表現(xiàn)為副瓣電平的提高甚至導致零信號的填充。

圖8 中心距離相等的兩種線性陣列

為 了比較分形單元和傳統(tǒng)的天線單元之間的相互耦合作用，陣列設計如圖8 所示，兩個陣列都有五個單元組成，單元之間的距離為d=0.3π，陣列單元的相位依次增加1.632弧度，主波束沿軸向掃描為135°。陣列的遠場方向圖 如圖9，從圖中可以看出，兩個陣列主波束掃描角度達到理想的135°，分形天線元陣列在45°方向上有較小的副瓣，同樣，通過比較理想陣列元（不考慮陣列 元之間的互耦作用）和分形陣列元之間的遠場方向圖，可以看出陣列元之間的相互耦合作用影響陣列天線的性能和零訊號的填充。在45°方向上，分形陣列的副瓣 輻值比傳統(tǒng)天線陣列的副瓣輻值小20dB，這意味著更多的能量加在主瓣上。

圖9 陣列的方向圖比較（ƒ（Ø）單位：dB）

另 一種方法是在線性陣列中排列更多的分形天線元。這兩種方法極大的擴大了線性陣列的有效掃描角度。分形也可以用來在一個線性陣列中放置更多的天線元，即一固 定寬度的陣列天線，如果用分形天線元來代替，可以增加天線元的個數(shù)，同時減小了天線元之間的距離，這就使得陣列可以掃描到更低的角度，不會產(chǎn)生不期望的副 瓣，這是因為在同樣的諧振頻率且保持天線元的邊邊距離不變的條件下，分形元尺寸較小，如圖10所示，在中心距為0.5π的五個矩形環(huán)形單元線陣所占的空間 中，排了七個分形環(huán)單元，且每兩個單元的中心距為0.35π，矩形環(huán)單元相位依次增加2.72弧度，分形環(huán)單元相位依次：

圖10 相同寬度的兩種陣列元排列

增加1.9弧度，都能實現(xiàn)主波束掃描135°。陣列的遠場方向圖如圖11，從圖中可以看出，在45°方向上分形元陣列的副瓣輻值比矩形元陣列低15dB。

圖11 兩種陣列的方向圖的比較

隨 著天線技術(shù)的不斷發(fā)展，分形幾何在天線中的應用也會越來越多,分別研究了分形在MIMO天線和UWB射頻設計中所獲得的理想效果。我 們知道微帶天線有低剖面、重量輕、易集成，易于載體共形等特點，但是，這種天線的頻帶窄和難于實現(xiàn)多頻帶等固有的缺點限制了它的應用，如能把微帶天線的輻 射元用分形元來替代[8]，結(jié)合分形天線的特性，那將會極大的改善天線的性能。這必將是天線的一個發(fā)展趨勢。這里，我們主要討論了規(guī)則分形圖形在天線領(lǐng)域 的應用。隨機分形天線分析也有文獻探討：隨機分形圖形更接近于復雜的自然形態(tài)的結(jié)構(gòu)，這也是分形理論在天線設計中的一個發(fā)展。

4 總結(jié)

分形幾何的兩大特性應用到天線的設計中，解決了傳統(tǒng)天線設計中的天線尺寸和多頻帶兩大問題，同時，將分形運用到陣列天線的設計可以大大的改善和提高天線的性 能?？v觀分形天線的研究現(xiàn)狀，分形天線的研究還處在初級階段，還正待深入研究分形特性與天線特性以及天線性能之間的內(nèi)在聯(lián)系，促進天線小型化和多頻帶的發(fā) 展。