在開始之前，我們需要預(yù)習(xí)一下二項(xiàng)分布。

還是丟硬幣的例子，丟某塊特制的硬幣，假設(shè)正面向上的概率是P，則擲出圖片次，有K次向上的概率P是多少？

將硬幣正面朝上的次數(shù)記為隨機(jī)變量X，則有

這種分布就是二項(xiàng)分布。容易證明，二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望 E(X)=np

泊松分布

我們回到泊松分布。先來看一個(gè)生活場(chǎng)景。

宋朝慶歷年間，劉姥姥由于生活壓力，不得不根據(jù)祖?zhèn)髅胤桨l(fā)明總結(jié)并始創(chuàng)了一種名叫十二香的調(diào)料，并開始在市場(chǎng)上叫賣。劉姥姥在街上賣了半年，由于本小利薄，味道贊絕，一直供不應(yīng)求，但由于制作周期長，原料準(zhǔn)備流程復(fù)雜，而且保存時(shí)間較短，一直無法提高產(chǎn)量。

這一天，劉姥姥終于決定要弄清楚她每天剛制作的調(diào)料究竟是如何被火速買光的，以便提高進(jìn)貨量來增加銷量。

劉姥姥首先買了絕對(duì)充足的原料，熬夜制作了足份的十二香。賣了一周，每天開張五個(gè)時(shí)辰，結(jié)果沒賣光剩下的調(diào)料全部變質(zhì)了只能丟掉，心疼的她難受了小半天。不過她總算是記錄下了寶貴的數(shù)據(jù)：這七天內(nèi)每天調(diào)料的銷售情況。

劉姥姥看著這用浪費(fèi)的調(diào)料換來的寶貴數(shù)據(jù)，想了想，打算以后每天都按照日出貨平均數(shù)：即10份來進(jìn)原材料，制作，保存。

劉姥姥的兒子劉大耳不同意。他認(rèn)為：如果按照10份準(zhǔn)備，那七天里有四天都不夠賣的，這可能會(huì)使王縣令的老婆買不到調(diào)料，將來一定會(huì)鬧事。

劉大耳說：我們應(yīng)該保證有90%以上的把握準(zhǔn)備最少的調(diào)料每日的份數(shù)，使來咱這購買十二香的客人需求全都滿足。我們可以如此如此，這般這般……

于是劉姥姥就聽從了大耳兒的建議，從此之后，生意更加興隆，至于王縣令后來入伙加盟，生意不斷做大，后來更是推陳出新創(chuàng)立了十三香舉世聞名，當(dāng)然這都是后話了。

那么當(dāng)時(shí)劉大耳的方案是什么呢？接下來將一一道來。

劉姥姥每天賣五個(gè)時(shí)辰，也就是600分鐘，如果每分鐘最多只能賣出一份調(diào)料，且在這一分鐘賣出調(diào)料的概率是P，那么這一天賣出10份調(diào)料的概率可以通過二項(xiàng)分布計(jì)算：

但是王縣令家里人丁興旺，他老婆有時(shí)候會(huì)一次買幾十份調(diào)料，那每分鐘可能就賣出去不止一份調(diào)料。于是劉大耳將分割六個(gè)時(shí)辰的時(shí)間間隔進(jìn)一步縮小，分割成圖片，再利用極限的思想：

再抽象一些，那么在某天能賣出圖片份調(diào)料的概率應(yīng)該是：

那么P如何計(jì)算呢？還記得二項(xiàng)分布的期望嗎：假設(shè)

而我們可以使用當(dāng)圖片比較小的時(shí)候計(jì)算平均值得到的來近似。

另外，需要注意的是，在如上假設(shè)下，當(dāng)n越來越大時(shí)，p值也會(huì)越來越小。

我們來進(jìn)一步計(jì)算一下這個(gè)概率：

而容易看出：

因此我們得到：

至此，我們就得到了教科書中泊松分布的概率密度函數(shù)！

劉大耳用圖片近似替代這里的圖片。于是我們可以利用python中的scipy庫快速畫出劉姥姥每天賣出圖片份十二香的概率密度曲線和累計(jì)分布函數(shù)。

import numpy as np

from scipy import stats

from matplotlib import pyplot as plt

mu = 10

x = np.arange(0,101,1) 

plist = stats.poisson.pmf(x,mu) 

clist = stats.poisson.cdf(x,mu)

plt.plot(x,plist,label='poisson distribution pmf') # 

plt.plot(x,cdflist,label='poisson distribution cdf') 

plt.xlim((-1,15))

plt.grid() 

plt.legend() 

plt.title(r'Poisson Distribution $\mu$:10') 

plt.show()

如圖1。近似從圖中得出：每天準(zhǔn)備14份十二香，就有超過90%的把握不讓顧客乘興而來空手而去。

從上面的例子可以看出，泊松分布可以近似模擬一個(gè)離散事件在連續(xù)時(shí)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)的概率分布。真實(shí)世界中有很多場(chǎng)景都和泊松分布有關(guān)，比如某網(wǎng)站在某段時(shí)間內(nèi)的點(diǎn)擊率；客服中心在某段時(shí)間內(nèi)接到電話的次數(shù)；醫(yī)院在某段時(shí)間內(nèi)接生的嬰兒；放射性元素在某段時(shí)間內(nèi)衰變的粒子個(gè)數(shù)……

事實(shí)上我們通過上面的推導(dǎo)過程也能看出：當(dāng)p很?。ɑ騨很大）時(shí)的二項(xiàng)分布就近似等于泊松分布，此時(shí)我們也可以用泊松分布來快速近似計(jì)算起來更麻煩的二項(xiàng)分布。不信的話我們把代碼和圖撂在這，請(qǐng)看圖2。

import numpy as np 

from scipy import stats 

from matplotlib import pyplot as plt

mu = 10 

x = np.arange(0,101,1) 

plist = stats.poisson.pmf(x,mu)

blist1 = stats.binom.pmf(x,20,0.5) 

blist2 = stats.binom.pmf(x,40,0.25) 

blist3 = stats.binom.pmf(x,100,0.1)

plt.plot(x,plist,label=r'poisson $/mu:10$',color='k') 

plt.plot(x,blist1,'-.',label=r'binomial $n:20, p:0.5$',alpha=0.5) 

plt.plot(x,blist2,'-.',label=r'binomial $n:40, p:0.25$',alpha=0.5) 

plt.plot(x,blist3,'-.',label=r'binomial $n:100, p:0.1$',alpha=0.5)

plt.xlim((-1,20)) 

plt.title(r'Poisson and Binomial Distribution') 

plt.grid() 

plt.legend() 

plt.show()

指數(shù)分布

我們繼續(xù)劉姥姥的故事。

話說這劉姥姥還有個(gè)孫子劉小笨，隨著劉姥姥和劉大耳的買賣日益紅火，劉小笨的伙食也越來越好，飽暖思學(xué)術(shù)，開始成天開始研究算術(shù)。劉小笨天天看劉姥姥賣調(diào)料，發(fā)現(xiàn)賣出一份調(diào)料所需要的時(shí)間間隔符合某種分布。經(jīng)過思考，他決定把這種分布稱為指數(shù)分布。

經(jīng)過后人對(duì)劉小笨的著作進(jìn)行解讀，我們發(fā)現(xiàn)了他的思考過程。

這里我們先考慮簡單的量，比如賣出一份調(diào)料所需要的時(shí)間大于1個(gè)時(shí)辰（2個(gè)小時(shí)，120分鐘）的概率，其實(shí)和1個(gè)時(shí)辰內(nèi)一份調(diào)料也沒有賣出的概率，之和為1。

另外，假設(shè)每個(gè)時(shí)辰平均賣出的調(diào)料數(shù)為（根據(jù)劉姥姥的記錄，我們知道這個(gè)數(shù)近似為2）。記隨機(jī)變量Y為兩次賣出調(diào)料之間的時(shí)間間隔。根據(jù)之前劉大耳的假設(shè)，立刻有：

至此，劉小笨可以估算任意時(shí)刻他姥姥賣出一份調(diào)料的概率。比如，任何1個(gè)時(shí)辰內(nèi)，會(huì)有調(diào)料賣出的概率是：

而在接下來的30分鐘到60分鐘內(nèi)，會(huì)有調(diào)料賣出的概率是：

事實(shí)上，到這里我們已經(jīng)得到了圖片的累計(jì)分布函數(shù)了:

對(duì)其求導(dǎo)就可以得到其概率密度函數(shù)：

至此，我們就得到了劉姥姥連續(xù)兩次賣出調(diào)料的時(shí)間間隔圖片的概率密度函數(shù)，隨機(jī)變量就符合指數(shù)分布，其中的圖片指的是每個(gè)時(shí)辰平均賣出調(diào)料的份數(shù)（這里是2） 。

指數(shù)分布的圖像我們可以畫出來，如圖3。

import numpy as np 

from scipy import stats 

from matplotlib import pyplot as plt

x = np.arange(0,10,0.1) 

elist1 = stats.expon.pdf(x,scale=1/2) 

elist2 = stats.expon.pdf(x,scale=1/3) 

elist3 = stats.expon.pdf(x,scale=1/5)

plt.plot(x,elist1,label=r'$\lambda:2$') 

plt.plot(x,elist2,label=r'$\lambda:3$') 

plt.plot(x,elist3,label=r'$\lambda:5$') 

plt.xlim((0,3)) 

plt.grid() 

plt.legend() 

plt.title(r'Exponential Distribution PDF') 

plt.show()

可以從圖中看出，當(dāng)每個(gè)時(shí)辰賣出更多的調(diào)料份數(shù)時(shí)，更小的連續(xù)兩次賣出調(diào)料時(shí)間間隔發(fā)生的概率更高，這很合理。

用一句話來概括，每天賣出的調(diào)料份數(shù)服從的是泊松分布，而賣出兩份調(diào)料的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，它們的期望分別代表了平均每天賣出的調(diào)料份數(shù)和每份調(diào)料賣出的平均時(shí)間間隔。真實(shí)世界中同樣有很多場(chǎng)景也和指數(shù)分布有關(guān)，比如某網(wǎng)站被訪問的時(shí)間間隔；客服中心連續(xù)接到電話中間的休息時(shí)間間隔；電子產(chǎn)品的壽命（出現(xiàn)故障的時(shí)間間隔即正常使用壽命）……

伽馬分布

我們緊接上面的故事展開后續(xù)。

話說劉姥姥去世之后，劉小笨和王縣令合作開店。這個(gè)時(shí)候生意更好了，王縣令粗略統(tǒng)計(jì)了一下，發(fā)現(xiàn)平均每個(gè)時(shí)辰能賣出100份調(diào)料。他于是問劉小笨：昨天剛做好的那300份調(diào)料都賣光的時(shí)間滿足什么概率分布？劉小笨沉吟片刻，感覺這種分布和之前的泊松分布指數(shù)分布都不一樣，于是他把這種分布稱作：伽馬分布。

劉小笨后來的手札記錄了他當(dāng)時(shí)的思考過程。

假設(shè)每份調(diào)料賣出都是相互獨(dú)立的，而單位時(shí)間賣出調(diào)料份數(shù)均值為。則在這里，從開張到賣出到當(dāng)日第X份調(diào)料所需要的時(shí)間隨機(jī)變量T_x(t)就是我們應(yīng)該關(guān)注的量。我們假設(shè)該隨機(jī)變量分布的概率密度函數(shù)為。進(jìn)一步的，我們根據(jù)概率密度函數(shù)定義有：

而我們同樣可以使用處理泊松分布時(shí)的方法，將t均分為k份，計(jì)算當(dāng)k趨近于無窮大時(shí)的。需要注意的是，t時(shí)間后，我們應(yīng)該賣出了第x份，也就是說，在將t這一時(shí)間段分為k份后，前k-1份中我們肯定已經(jīng)賣出了x-1份調(diào)料。假設(shè)每一小份時(shí)間段內(nèi)我們賣出調(diào)料的概率為p，那么這么問題又退化成了二項(xiàng)分布相關(guān)的問題。

根據(jù)期望的定義，我們有， 將帶入上式。

至此，我們得到了伽馬分布的概率密度函數(shù)。更一般，當(dāng)我們?cè)试SX為小數(shù)時(shí)，可以對(duì)階乘做適當(dāng)?shù)慕馕鲅油?，也就是伽馬函數(shù)了。

別看這式子如此復(fù)雜，實(shí)際上伽馬分布就是要解決計(jì)算從此時(shí)到后X次隨機(jī)事件都發(fā)生，需要等多長時(shí)間的問題。

顯然，當(dāng)x=1時(shí)，退化為了指數(shù)分布，即要解決的問題退化為了計(jì)算下一次發(fā)生該隨機(jī)事件的時(shí)間間隔問題。

我們來看看伽馬分布密度函數(shù)的函數(shù)圖像。

import numpy as np 

from scipy import stats 

from matplotlib import pyplot as plt

x = np.arange(0,10,0.1)

glist1 = stats.gamma.pdf(x,1) 

glist2 = stats.gamma.pdf(x,2) 

glist3 = stats.gamma.pdf(x,3)

plt.plot(x,glist1,label=r'$x:1$') 

plt.plot(x,glist2,label=r'$x:2$') 

plt.plot(x,glist3,label=r'$x:3$') 

plt.grid() 

plt.legend() 

plt.title(r'Gamma Distribution PDF: $\lambda:1$') 

plt.show()

至此，我們講解完了泊松分布，指數(shù)分布和伽馬分布。

總結(jié)一下，泊松分布解決的是離散事件發(fā)生在連續(xù)的時(shí)間內(nèi)的次數(shù)概率分布的問題；指數(shù)分布解決的是獨(dú)立離散事件發(fā)生一次所需連續(xù)時(shí)間長度分布的問題；伽馬分布解決的是多次離散事件發(fā)生所需連續(xù)時(shí)間長度分布的問題。其中，指數(shù)分布是伽馬分布的特例。