大家好，我是小麥。

以前做控制相關(guān)的項(xiàng)目，總會(huì)遇到PID的算法，在工程領(lǐng)域，這無(wú)疑是簡(jiǎn)單，實(shí)用，有效的一個(gè)算法。

只需要調(diào)整比例，積分，微分的參數(shù)，就能達(dá)到比較好的控制效果。

但是這其中，我們最好是知其然，知其所以然。

控制其實(shí)是一門比較綜合的學(xué)科，有時(shí)候感覺(jué)它是批著控制外衣的數(shù)學(xué)，下面是國(guó)外大佬Brian Douglas總結(jié)的圖解控制理論，如下圖所示；

From Brian Douglas

控制理論是龐然大物，后來(lái)我在B站看到DR_CAN的視頻，中文講解，由淺入深，受益匪淺。

所以這里給大家強(qiáng)烈安利DR_CAN的新書(shū)《控制之美（卷1）——控制理論從傳遞函數(shù)到狀態(tài)空間》，配合視頻看，效果不錯(cuò)。老規(guī)矩，文末送書(shū)

解決一個(gè)控制系統(tǒng)的問(wèn)題，可以分為三個(gè)步驟。

第一步需要對(duì)所研究的對(duì)象進(jìn)行系統(tǒng)分析，建立數(shù)學(xué)模型，有可能是熱力學(xué)，動(dòng)力學(xué)，流體，甚至是生態(tài)或者經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。

第二步是在這個(gè)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)。可以應(yīng)用到不同的控制手段和方法。

最后一步就是測(cè)試。

這里面需要有測(cè)試模型的搭建，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，當(dāng)然還會(huì)涉及到一些數(shù)據(jù)處理。

同時(shí)實(shí)驗(yàn)設(shè)備在做出來(lái)之后，也需要把實(shí)驗(yàn)結(jié)果與建模進(jìn)行比較，對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證和不斷地更新。

如圖所示，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分析和數(shù)學(xué)建模是分析控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)，后續(xù)的工作都將在這一個(gè)基礎(chǔ)上完成。

在這里我們用兩種不同的方法介紹動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的分析與數(shù)學(xué)建模。

首先重點(diǎn)討論經(jīng)典控制理論的建模方法，即采用拉普拉斯變換和傳遞函數(shù)的辦法來(lái)描述系統(tǒng)。

從動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的本質(zhì)入手，重點(diǎn)解釋如下三個(gè)問(wèn)題：

• 動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的本質(zhì)是什么？

• 為什么在經(jīng)典控制中引入拉普拉斯變換，意義和好處在哪？

• 傳遞函數(shù)的涵義和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本概念。

對(duì)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)狀態(tài)變量會(huì)隨著時(shí)間變化。

對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模就是用等式去描述系統(tǒng)狀態(tài)變量的變化規(guī)律。

本文中，如果不另外說(shuō)明，研究的對(duì)象是線性常系數(shù)微分方程，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)就是線性時(shí)不變系統(tǒng)

從嚴(yán)格意義上來(lái)講，時(shí)不變系統(tǒng)是不存在的，因?yàn)椤叭瞬荒軆纱翁みM(jìn)同一條河流”，而在大部分工程情況下，可以把問(wèn)題近似簡(jiǎn)化為時(shí)不變系統(tǒng)。

就是說(shuō)在系統(tǒng)分析的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)的參數(shù)是恒定的。對(duì)于非線性的系統(tǒng)，一般可以在系統(tǒng)的平衡點(diǎn)附近做線性化處理。不可以近似為線性時(shí)不變的系統(tǒng)不在本書(shū)的討論范圍之內(nèi)。

對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)而言，可以通過(guò)一個(gè)沖激響應(yīng)得到系統(tǒng)的全部特性。而系統(tǒng)的輸入與輸出是卷積的關(guān)系。用簡(jiǎn)單直觀的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是系統(tǒng)的輸入會(huì)對(duì)未來(lái)一段時(shí)間之內(nèi)的系統(tǒng)輸出產(chǎn)生影響。

可以做一個(gè)簡(jiǎn)單的比喻；

• 向水中扔一枚石子，會(huì)產(chǎn)生漣漪。

• 如果在第一次漣漪消失之前，又向水中扔了另一顆石子，那么這兩次的漣漪就會(huì)疊加。

• 這其中，扔石子這個(gè)動(dòng)作就是系統(tǒng)的輸入，水面就是系統(tǒng)本身，而產(chǎn)生的漣漪就是系統(tǒng)的輸出。

這說(shuō)明，某一個(gè)時(shí)刻的漣漪，是前面幾次石子入水后的疊加的效果。

這個(gè)疊加用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示就是卷積，下面通過(guò)一個(gè)例子來(lái)推導(dǎo)一下卷積的公式，一步步揭開(kāi)卷積的面紗，從而了解動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的本質(zhì)。