3GAT在組合優(yōu)化問題中的應用

3.1組合優(yōu)化問題

組合優(yōu)化問題是運籌學中的核心問題，也是學者開始學習運籌學的必經之路。組合優(yōu)化問題是計算機科學和運籌學中的核心領域，涉及到許多實際應用，如物流、調度和網絡設計等。組合優(yōu)化問題 在許多實際應用中都起著至關重要的作用。例如，在物流領域，組合優(yōu)化問題可以幫助人們在紛繁錯 雜的運輸條件中，找到最優(yōu)的貨物配送路線，從而節(jié)省運輸成本和提高貨運效率。在調度問題中，組合優(yōu)化可以幫助人們有效地分配資源，以滿足各種約束條件，同時最大化或最小化某個所需的某個目標值（通常稱為目標函數）。

然而，傳統(tǒng)的組合優(yōu)化算法通常需要針對每個新問題從頭開始設計，并且需要專家對問題結構進行仔細的考慮。解決組合優(yōu)化問題通常需要大量的計算資源，特別是對于來源于現(xiàn)實的問題，通常情況下問題本身規(guī)模十分龐大，傳統(tǒng)的優(yōu)化算法可能無法在合理的時間內找到解決方案，甚至無法在可達的時間內求解。因此，如何有效地解決組合優(yōu)化問題，一直是研究者們關注的焦點。近年來，使用馬爾科夫鏈構造動態(tài)規(guī)劃的方式，可以解決被表述為由狀態(tài)、動作和獎勵定義的單人游戲的組合優(yōu)化問題，包括最小生成樹、最短路徑、旅行商問題（TSP）和車輛路徑問題（VRP），而無需專家知識。這種方法使用強化學習訓練圖注意力神經網絡（GNN），在未標記的圖訓練集上進行訓練。訓練后的網絡可以在線性運行時間內輸出新圖實例的近似解。在TSP問題中，GAT可以有效地處理城市之間的距離關系，從而找到最短的旅行路徑。在VRP問題中，GAT可以有效地處理車輛、客戶 和倉庫之間的關系，從而找到最優(yōu)的配送路線。這些研究結果表明，GAT在解決組合優(yōu)化問題方面，具 有巨大的潛力。

3.2GAT解決路徑規(guī)劃論文案例

(Kool et al.,2018)中提出了一種類似GAT的基于注意力機制的模型來解決不同的路徑規(guī)劃問題,包括TSP, VRP, OP等問題。本文主要是通過將路徑規(guī)劃問題(例如TSP)構造為基于圖的問題，在TSP中 的每個顧客點位的位置以及其它信息作節(jié)點的特征。經由基于注意力機制的編碼-****，得出路徑結果即一個隨機策略π(π|s), 使用此策略在給定的測試數據點中找到最有路徑方法π,此方法被θ參數化并且分解為：

       (10)

解碼過程是順序進行的。在每個時間步，****根據編碼器的嵌入和在時間生成的輸出來輸出節(jié)點πt。在解碼過程中，增加一個特殊的上下文節(jié)點來表示解碼上下文。****在編碼器的頂部計算一個注意力(子)層，但是只向上下文節(jié)點發(fā)送消息以提高效率。最后的概率是使用單頭注意力機制計算的。在 時間t，****的上下文來自編碼器和在時間t之前的輸出。對于TSP來說包括圖的嵌入，前一個(最 后一個)節(jié)點πt-1和第一個節(jié)點π1。同時為了計算輸出概率，添加一個具有單個注意力頭的最終****層。文章通過梯度下降優(yōu)化損失L，使用REINFORCE梯度估計器和基線。文章使用Rollout基線，基線策略的更新是周期性的，也是較好的模型定義策略，用來確定性貪婪Rollout的解決方案。

文章還詳細討論了對于不同問題的處理策略，例如對于獎勵收集旅行商問題(PCTSP)，作者在編碼器中使用了單獨的參數來處理倉庫節(jié)點，并且提供了節(jié)點獎勵和懲罰作為輸入特征。在****的上下文中，作者使用了當前/最后的位置和剩余的獎勵來收集。在PCTSP中，如果剩余的獎勵大于0且所有節(jié)點都沒有被訪問過，那么倉庫節(jié)點不能被訪問。只有當節(jié)點已經被訪問過時，才會被屏蔽(即不 能被訪問)。

由于篇幅限制，本文只著重介紹Kool et al. (2018)是如何基于圖注意力機制來構造在TSP中節(jié)點 間相互傳遞加權信息的算法。在文中構造的圖中，節(jié)點接收到的帶有權重的信息，來自于自己和周圍的鄰點們。而這些節(jié)點位的信息值是取決于其查詢與鄰居的鍵的兼容性，如Figure6所示。作者定義了dk, dv并設計計算了相應的ki∈ ?dk, vi∈ ?dv, qi∈ ?dk。對于所有點位的對應qi ,ki,v i，通過以下方法 投影嵌入到hi來計算：

其中的WQ,WK是兩組維數是dk ×dh的參數矩陣，WV的大小是(dv × dh). (推薦想深入了解Transformer中q, k, v設置與計算方法的讀者，移步至WMathor (2020))

兩點之間的兼容性，就是通過計算節(jié)點i的qi同j點的kj之間的值uij來實現(xiàn)的 (Velickovic et al.,2017)：

(11)

設置-∞避免了不相接的點互相傳遞信息，通過構建的兼容性，類似于Velickovic et al.(2017)中的eij, Khalil et al.(2017) 是這樣計算注意力權重aij的：

       (12)

最終，節(jié)點i將接收到一個向量h’i，其中包含了向量vj的凸組合：

       (13)

4結語

4.1GAT的未來發(fā)展和應用前景

圖注意力網絡(GAT)在解決組合優(yōu)化問題，特別是旅行商問題(TSP)和車輛路徑問題(VRP)等問題上的能力已經得到了廣泛的證明。然而也需要注意到，雖然GAT在這些問題上表現(xiàn)出了優(yōu)越性，但是它并不是萬能的。對于一些特定的問題，可能需要設計特定的模型或者算法來解決。因此，在研究問題時，需要根據問題的具體情況，結合GAT解決問題的特性，選擇合適的工具來解決不同的組合 優(yōu)化問題。

在其它領域GAT也發(fā)揮著不同的作用，例如，Zhang et al. (2022)中提出了一種新的GAT架構，該架構可以捕獲不同規(guī)模圖知識之間的潛在關聯(lián)。這種新的GAT架構在預測準確性和訓練速度上都優(yōu)于 傳統(tǒng)的GAT模型。

此外，Shao et al.(2022)提出了一種新的動態(tài)多圖注意力模型，該模型可以處理長期的時空預測問題。這種模型通過構建新的圖模型來表示每個節(jié)點的上下文信息，并利用長期的時空數據依賴結構。這種方法在兩個大規(guī)模數據集上的實驗表明，它可以顯著提高現(xiàn)有圖神經網絡模型在長期時空預測任務上的性能。

在股票市場預測方面，GAT也有著廣泛的應用。Zhao et al. (2022)提出了一種基于雙注意力網絡的股票移動預測方法。首先構建了一個包含兩種類型的實體(包括上市公司和相關的高管)和混合關系(包括顯式關系和隱式關系)的市場知識圖。然后，提出了一種雙注意力網絡，通過這個網絡可以 學習到市場知識圖中的動量溢出信號，從而進行股票預測。實驗結果表明，該方法在股票預測方面的性能優(yōu)于九種最先進的基線方法。

總的來說，圖形的視角為研究提供了一種全新的方式來理解和解決問題。將已有的問題以圖形的形式思考和轉換，不僅可以揭示問題的新的方面和特性，而且還可能引發(fā)新的創(chuàng)新點。同樣，將新的問題用圖形方法思考，也可能帶來意想不到的收獲。這種方法的優(yōu)點在于，它可以幫助學者更好地理解問題的結構和復雜性，從而找到更有效的解決方案。希望大家從本篇對于GAT的介紹開始，可以更多了解圖神經網絡的原理，更多地應用到自己的學 習和研究當中，通過使用GAT可以為解決問題提供強有力的支持。

作者簡介

作者鄧楊，西安交通大學管理學院-香港城市大學系統(tǒng)工程學院聯(lián)合培養(yǎng)博三學生，研究方向為強化學習在城市物流中的應用。碩士畢業(yè)于南加州大學交通工程專業(yè)，榮譽畢業(yè)生。曾就職于工程咨詢 企業(yè)HATCH洛杉磯辦公室，加州注冊EIT。曾獲AACYF 2017年‘三十位三十歲以下優(yōu)秀創(chuàng)業(yè)青年’、2019年‘全美十大華裔杰出青年’等稱號?，F(xiàn)為包頭市海聯(lián)會副會長、僑聯(lián)、歐美同學會會員。

References
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