摘要：為了正確反映基于光電位置敏感器(PSD)的微位移傳感器的特性，首先介紹了一維光電位置敏感器的工作原理并分析了利用PSD結(jié)合光學(xué)三角測量法將位移信號轉(zhuǎn)換成電壓信號的工作原理，得出基于PSD的微位移傳感器被測試件位移量與相關(guān)測量電路輸出電壓(S，V)關(guān)系特征，然后基于最小二乘估計(jì)算法基本原理，提出了運(yùn)用MATLAB語言建立PSD的微位移傳感器(S，V)關(guān)系特征的數(shù)學(xué)模型的方法，給出了建模的程序流程圖以及仿真結(jié)果。
關(guān)鍵詞：光電位置敏感器；微位移傳感器；傳感器建模；位移測量；MATLAB語言

位置敏感傳感器(position sensitive detector，PSD)廣泛應(yīng)用于光學(xué)位置、角度的測量與控制、工業(yè)自動化生產(chǎn)、遠(yuǎn)程光學(xué)控制系統(tǒng)、微電子生產(chǎn)中的各類檢測和監(jiān)控、位移和振動監(jiān)測等。在PSD的眾多應(yīng)用領(lǐng)域中，應(yīng)用最為廣泛的就是位移測量。本文通過光學(xué)三角測量的方法將測量物理位移信號轉(zhuǎn)換成PSD能夠測量的位移信號，然后利用PSD工作原理將位移信號轉(zhuǎn)換成電流信號，通過后續(xù)電路將電流信號轉(zhuǎn)換成電壓信號，經(jīng)過放大、濾波、A／D處理后交由計(jì)算機(jī)對采集得到的電壓(V)和位移(S)信號進(jìn)行處理。為準(zhǔn)確反映該P(yáng)SD的微位移傳感器系統(tǒng)的V-S間關(guān)系，實(shí)現(xiàn)精確測量，需要擬合出一條曲線盡可能逼近PSD的微位移傳感器實(shí)際的輸入、輸出特性。文中采用MATLAB語言，運(yùn)用矩陣運(yùn)算，由實(shí)驗(yàn)測得數(shù)據(jù)采用分段擬合的方法建立了PSD的微位移傳感器V-S間的數(shù)學(xué)模型，對于PSD的微位移傳感器實(shí)際的非線性特性進(jìn)行擬合，逼近得出最佳關(guān)系曲線。

1 基于PSD的微位移傳感器測量原理分析
1．1 PSD的工作原理
PSD分為一維PSD和二維PSD。一維PSD大致分為P-I-N 3層。一維PSD截面如圖1所示。表面P層為感光面，從P層兩側(cè)分別引出一個電極，作為輸出。中間的I層為電離層。底面N層的引出一個電極，作為公共端并施加反偏電壓。PSD的光敏層接受入射光照射時，在相應(yīng)的入射位置上所產(chǎn)生的電荷與光能成正比例關(guān)系，電荷定向移動形成光電流由P層兩個輸出電極輸出。2個電極輸出的電流大小都與入射光點(diǎn)位置到各電極之間距離有關(guān)，若感光面電阻是均勻分布的，距離越大，光電流越?。环粗?，則越大。

PSD的等效電路如圖2所示，設(shè)電極1和電極2的距離為L，電極1和電極2輸出的光電流分別為I1和I2，則電極3上的電流為總電流I0，并且IL=I1+I2。若以PSD的中心點(diǎn)位置作為原點(diǎn)，光點(diǎn)離中心點(diǎn)的距離為X。對一維PSD，如果負(fù)載電阻與面電阻相比很小，則有式(1)關(guān)系：

由式(1)可以看出光點(diǎn)坐標(biāo)X僅和兩極輸出電流有關(guān)，而和入射光點(diǎn)強(qiáng)度無關(guān)，因此，若可以通過實(shí)驗(yàn)測量獲得參數(shù)I1和I2的數(shù)值，光點(diǎn)坐標(biāo)X就是可求的。

1．2 光學(xué)三角法構(gòu)成的位移尺寸傳感器
PSD進(jìn)行位移測試時經(jīng)常采用光學(xué)三角測量法。具體過程為：當(dāng)激光束入射到被測試件表面時，會形成漫反射光斑，將其作為信號，利用透鏡成像原理將收集到的漫反射光會聚到焦平面的光接收器上形成像點(diǎn)。當(dāng)入射光斑隨被測物面移動時，像點(diǎn)在光接收器上面做相應(yīng)移動，根據(jù)像移大小和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)可以確定被測物面的位移量。基于PSD的微位移傳感器測試原理由圖3所示。

由于直接從電極輸出的是微安級的光電流變化，并且負(fù)載電阻應(yīng)該盡可能小，因此需要合適的信號調(diào)理電路對PSD的輸出信號進(jìn)行處理和運(yùn)算才能得到位置坐標(biāo)。本系統(tǒng)的PSD信號調(diào)理電路主要由前置放大器、加法器、減法器、除法器等構(gòu)成。其中包含4個高精度運(yùn)算放大器。兩個作為前置放大運(yùn)算放大器，將電流信號轉(zhuǎn)換成電壓信號進(jìn)行放大，放大倍數(shù)取決于反饋電阻阻值。本系統(tǒng)在調(diào)試時為了提高測量精確度采用了精確阻值的電阻。另外兩個高精度運(yùn)算放大器分別作為加法器和減法器，為了實(shí)現(xiàn)精確測量，盡可能避免軟件方法實(shí)現(xiàn)的除法器在兩路數(shù)據(jù)采集過程中難以真正實(shí)時同步的缺點(diǎn)，本系統(tǒng)采用高精度模擬除法器實(shí)現(xiàn)除法運(yùn)算功能。由于加法器、減法器、除法器的輸出具有一定的電壓波動，所以系統(tǒng)還加入了濾波器。用數(shù)據(jù)采集卡PCL-818HD采集高精度模擬除法器的輸出電壓并實(shí)現(xiàn)A／D轉(zhuǎn)換，通過編程實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換結(jié)果和PC機(jī)中的MATLAB數(shù)據(jù)連接，通過調(diào)用自行編寫的建模程序?qū)崿F(xiàn)對基于PSD的微位移傳感器的建模，即在傳感器系統(tǒng)中，電壓大小與光點(diǎn)位置和原點(diǎn)之間的距離近似成線性比例關(guān)系。

2 用MATLAB語言建立數(shù)學(xué)模型原理
實(shí)驗(yàn)過程中所得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)往往是離散的，傳感器建模的最終目標(biāo)是通過某些擬合方法得到輸入量與輸出量之間的連續(xù)光滑曲線。實(shí)際測得一組傳感器測量數(shù)據(jù)集{Xk，Yk}，(k=1，2，…n)，其中Xk為被測量，Yk為傳感器輸出量?；谧钚《朔ǖ膫鞲衅鲾?shù)學(xué)模型的建立，就是要用多項(xiàng)式(2)

擬合測量數(shù)據(jù)集{Xk，Yk}，(k=1，2，…n)，使φ值最小。一般均采用歐氏范數(shù)‖δ‖2作為誤差度量的標(biāo)準(zhǔn)。使用MATLAB的M語言對最小二乘算法進(jìn)行編程，通常采用兩種方法：利用polyfit函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，或利用矩陣除法解決復(fù)雜函數(shù)的擬合。文中用第一種方法擬合基于PSD的微位移傳感器的數(shù)學(xué)模型。函數(shù)polyfit的輸入量為X、Y、n，其中X、Y即為需要建立相互關(guān)系的2個變量的測量值，以數(shù)組的形式輸入，n為多項(xiàng)式的階數(shù)，輸出的是多項(xiàng)式系數(shù)的行向量，得到的多項(xiàng)式是降冪的。對給定的一組數(shù)據(jù)(Si，Vi)(i=0，1，…，n)，選取線性無關(guān)的基函數(shù)φ={S0，S1，…，Sm}，要求由φ中找出一個函數(shù)y=V*(S)，使誤差平方和



3 基于MATLAB語言的傳感器建模流程
通過對某PSD的微位移傳感器建模原理的分析，利用MATLAB語言對傳感器進(jìn)行建模步驟為：
1)實(shí)際測得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(Si，Vi)(i=0，1，…，n)(以數(shù)組形式輸入這樣便于在計(jì)算過程中引用)，利用MATLAB中的plot(Si，Vi)函數(shù)完成描點(diǎn)畫圖，大致確定傳感器系統(tǒng)輸出電壓和被測試件位移量之間變化趨勢。
2)根據(jù)傳感器系統(tǒng)輸出電壓和被測試件位移量之間變化趨勢，采用分段建模方式確定PSD的微位移傳感器數(shù)學(xué)模型為多項(xiàng)式形式如式(8)所示：
V(S)≈a0+a1S+…+amSm (8)
3)選取基函數(shù)為φ={1，S，S2，…，Sm}，建立位移矩陣S。
4)將電壓矩陣和位移矩陣代入相應(yīng)法方程。
5)求解矩陣A。
①輸入實(shí)驗(yàn)測得電壓數(shù)據(jù)、實(shí)驗(yàn)次數(shù)n’=n+1及擬合多項(xiàng)式階數(shù)m②求ST及M=STS③求N=STV④求A=M-1N6)求Q值及Z值。
建模程序設(shè)計(jì)流程圖如圖4所示。

4 實(shí)例分析與仿真
完成系統(tǒng)硬件連接，并對系統(tǒng)進(jìn)行調(diào)試，開始對數(shù)據(jù)進(jìn)行采集。實(shí)驗(yàn)過程中，利用步進(jìn)電機(jī)對系統(tǒng)位移進(jìn)行改變，步進(jìn)電機(jī)精度為0．1 μm，其值遠(yuǎn)小于步進(jìn)電機(jī)的步距(步距為10μm)故可以認(rèn)為位移值為真值。為了提高檢測的精確度，減小隨機(jī)誤差，PC機(jī)所獲取的測量值為對每個檢測點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)20次測量所取的平均值，其精度足以滿足要求。通過實(shí)驗(yàn)測得PSD的微位移傳感器系統(tǒng)輸出電壓和被測位移量之間對應(yīng)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)如表1所示。(電壓采用20次測量的均值)。

由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知：在PSD的中間區(qū)域內(nèi)，V-S變化趨勢基本上成線性關(guān)系；但是在被測試件位移量較大和接近PSD的邊緣時，兩個區(qū)間內(nèi)線性度較差，呈現(xiàn)非線性關(guān)系，這主要因?yàn)橛绊憘鞲衅魈匦缘囊蛩赜泻芏啵籔SD器件的固有特性決定其存在非線性，這也是其主要不足之處另外，PSD不是理想的點(diǎn)電極，電極之間并非對稱，而且，入射光、反偏電壓、背景光、環(huán)境溫度等都是影響傳感器特性的因素。故大致可以分3段擬合該P(yáng)SD微位移傳感器的數(shù)學(xué)模型。擬合后殘差平方和的大小決定了多項(xiàng)式擬合的效果，為了盡可能降低各測量點(diǎn)的殘差平方和的數(shù)值，要合理選擇擬合的階次。擬合階次的選擇既要兼顧擬合曲線的光滑程度，又要注重考慮真實(shí)反映傳感器輸入、輸出之間的變化規(guī)律。某PSD的微位移傳感器特性擬合曲線如圖5所示。

5 結(jié)論
PSD的微位移傳感器的輸出電壓和被測試件位移間存在對應(yīng)關(guān)系。通過合理選擇測量點(diǎn)，相應(yīng)測得一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用MATLAB語言對PSD微位移傳感器建立其數(shù)學(xué)模型，擬合求出PSD微位移傳感器的(S，V)曲線。仿真結(jié)果表明，利用這種建模方法可以實(shí)現(xiàn)PSD微位移傳感器數(shù)學(xué)模型階次和系數(shù)的辨識，擬合出的(S，V)曲線較為直觀地反映了某PSD微位移傳感器的特性，具有較高的擬合精度。此種建模方法具有良好的通用性，富于實(shí)際意義。PSD微位移傳感器的模型的建立為其非線性補(bǔ)償問題找到了一個很好的途徑。