二級倒立擺的模糊控制研究
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在控制理論發(fā)展的過程中，某一理論的正確性及實際應(yīng)用中的可行性都需要一個按其理論設(shè)計的控制器控制一個典型對象進(jìn)行驗證。倒立擺就是這樣一個被控制對象。倒立擺系統(tǒng)是一個多變量、快速、非線性和自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，在控制過程中該系統(tǒng)能有效反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如非線性問題、系統(tǒng)的魯棒性問題、隨動問題、鎮(zhèn)定問題及跟蹤問題等。倒立擺在控制理論研究中是一種較為理想的實驗裝置。小車倒立擺系統(tǒng)的控制目標(biāo)是倒立擺通過小車能夠穩(wěn)定在有限長度的導(dǎo)軌上而不倒下，從而達(dá)到動態(tài)平衡。本文針對二級倒立擺非線性模型，基于Maminadi模型，通過設(shè)計融合函數(shù)來設(shè)計模糊控制器，有效解決規(guī)則爆炸問題，實現(xiàn)二級倒立擺的有效控制。
2 二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立
二級倒立擺由小車、擺桿、水平導(dǎo)軌等組成，小車由伺服電機(jī)、皮帶輪、傳動帶帶動在水平導(dǎo)軌上左右運動，上下擺可繞各自的轉(zhuǎn)軸在水平導(dǎo)軌所在的鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。小車和上下擺桿間通過軸承連接，每個軸承連接處固定有電位器，分別用以檢測兩根擺桿與鉛垂線的角度偏移。小車相對軌道中心點的偏移位置也由固定在皮帶輪軸上的電位器檢測。
其基本原理為：角度、位置信號經(jīng)檢測電路獲取后，再由微分電路得到相應(yīng)的微分信號，這些信號經(jīng)A／D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號傳輸至計算機(jī)。通過已設(shè)計的控制程序計算控制力所需電壓值，經(jīng)D／A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為模擬信號，功率放大后驅(qū)動電機(jī)運轉(zhuǎn)，電機(jī)再用皮帶拖動小車在導(dǎo)軌上往復(fù)運動實現(xiàn)對倒立擺的有效控制。忽略空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。圖1為二級倒立擺示意圖。
倒立擺參數(shù)定義如下：M為小車質(zhì)量，0．584 kg；m1為擺桿1質(zhì)量，0．05 kg；m2為擺桿2質(zhì)量，0．13 kg；m3為擺桿3質(zhì)量，0．236 kg；l1為擺桿1中心到轉(zhuǎn)動中心的距離，0．077 5 m；l2為擺桿2中心到轉(zhuǎn)動中心的距離，0．25 m；θ1為擺桿1與豎直方向的夾角；θ2為擺桿2與豎直方向的夾角；F為作用在系統(tǒng)上的外力；g為重力加速度，9．8 m／s2。
利用拉格朗日方程推導(dǎo)運動學(xué)方程，拉格朗日方程為：
式中，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能。
式中，i=1，2，3…，n，fi為系統(tǒng)在第i個廣義坐標(biāo)上的外力。
在二級倒立擺系統(tǒng)中，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有3個，分別為x，θ1，θ2。經(jīng)計算并線性化并帶人參數(shù)值得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程：
3 二級倒立擺模糊控制系統(tǒng)的設(shè)計與仿真
二級倒立擺系統(tǒng)控制目標(biāo)較多，包括小車位移，下擺擺角，上擺擺角。傳統(tǒng)的模糊控制器采用系統(tǒng)誤差，誤差的導(dǎo)數(shù)作為輸入，若用傳統(tǒng)模糊控制控制二級倒立擺，則模糊控制器有6個輸入：小車位移、小車速度、下擺擺角、下擺角速度、上擺擺角和上擺角速度。
若對每個輸入變量定義5個模糊子集，控制規(guī)則最多有56個，模糊控制規(guī)則設(shè)計復(fù)雜，可調(diào)參數(shù)非常多，不利于模糊規(guī)則的完整制定，這就是在使用模糊控制研究多變量非線性系統(tǒng)時的所謂“規(guī)則爆炸(Rule Explosion)”問題。然而，如果用3組二維模糊控制器(2輸入1輸出)通過串行或并行設(shè)計控制器，由于控制器個數(shù)增加，大大降低控制實時性，甚至由于不能及時輸出當(dāng)前控制作用力而失控。
3．1 倒立擺控制合成變量
本文是將最優(yōu)控制理論與模糊控制相結(jié)合而采用的一種融合技術(shù)。它是把小車的位移、上擺擺角、下擺擺角綜合成一個變量E，將小車的速度、上擺的角速度、下擺的角速度綜合成一個變量EC，E和EC作為模糊控制器的輸入，電壓u作為輸出，減少模糊控制器的輸入，解決規(guī)則爆炸的問題，由此設(shè)計Mamdani型模糊控制器。
通過LQR仿真，得出輸入輸出數(shù)據(jù)對，根據(jù)得到的數(shù)據(jù)計算并制定模糊規(guī)則。
對于嵌套函數(shù)Y=f2[f1(x)]，先使f1(x)對輸入變量作初步處理，再利用算法f2(x)根據(jù)前級算法的輸出進(jìn)行控制。f1稱為融合函數(shù)，f2稱為作用函數(shù)。
首先利用最優(yōu)控制理論中的LQR求得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋系數(shù)K和狀態(tài)向量x：
為實現(xiàn)變量融合，分別選取兩個反饋系數(shù)為控制主元，其他輸入變量可根據(jù)與主元的相關(guān)性和可融合性分別歸并到兩主元中。對于二級倒立擺，由于擺桿2的控制難度最大，分別選擇θ2、θ2為控制主元，相應(yīng)系數(shù)為：kθ=kθ2，kθ=kθ2融合函數(shù)的輸出向量為：
融合函數(shù)的輸出方程為：
通過把輸入狀態(tài)變量降維，得到角度誤差E和角速度誤差EC：
通過信息融合，將系統(tǒng)的6個狀態(tài)變量化為2個狀態(tài)變量，減少系統(tǒng)的輸入，實現(xiàn)模糊控制器的降維。由降維后得到的2個變量E和EC做為模糊控制器的輸入，設(shè)計一個二維Mamdani型的模糊控制器。利用最優(yōu)控制求得K。最優(yōu)控制性能指標(biāo)函數(shù)為：
使式(7)為最小，可求得：
求解如下Ricatti方程可得到矩陣P：
性能指標(biāo)函數(shù)中，定義矩陣Q和矩陣R用來平衡系統(tǒng)對輸入量和狀態(tài)量的敏感程度。它們對閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能影響很大。
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