2 數(shù)學(xué)模型的建立
因?yàn)榈沽[系統(tǒng)本身是一個(gè)自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。然而，經(jīng)過(guò)謹(jǐn)慎的假設(shè)，忽略掉一些次要因素，就能使倒立擺系統(tǒng)成為一個(gè)典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，使之在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論就能建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。下面采用牛頓一歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。
2．1 微分方程的推導(dǎo)
在忽略空氣阻力和各種摩擦后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖l所示。

假設(shè)M為小車質(zhì)量；m為擺桿質(zhì)量；b為小車摩擦系數(shù)；
l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度；I為擺桿慣量：F為加在小車上的力；x為小車位置；φ為擺桿與垂直向上方向的夾角；
θ擺桿與垂直向下方向的夾角圖2示出系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向分量腳。值得注意的是：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向?yàn)槭噶空较颉?/p>

分析小車水平方向所受的合力，可得方程為：
MX=F―bi―N
由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析，可得：

式(2)代入式(1)，可得系統(tǒng)的第1個(gè)運(yùn)動(dòng)方程為：

為了推出系統(tǒng)的第2個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，由此可得方程為：

方程中力矩的方向，由于θ=π+φ，cosφ=-cosφ，sinφ=-sinθ，故等式前有負(fù)號(hào)。合并式(4)和式(5)，簡(jiǎn)化得到第2個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：

設(shè)θ=π+φ(φ是擺桿與垂直向上方向之間的夾角，單位rad)，假設(shè)φ與1相比很小，即φ1，則可以進(jìn)行近似

2．2 狀態(tài)空間方程
由方程組(8)對(duì)x，φ解代數(shù)方程，整理后得：

2．3 實(shí)際系統(tǒng)模型
實(shí)際系統(tǒng)模型參數(shù)：M=1．096 Kg；m=0．109 Kg；b=0．1 N／m/s；l=0．25 m；I=0．0034 kg?m?m；采樣頻率T=0．005 s。
以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：

3 狀態(tài)空間極點(diǎn)配置
對(duì)于直線一級(jí)倒立擺的極點(diǎn)配置轉(zhuǎn)化來(lái)說(shuō)：要按上述系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，則要求具有較短，約3 s的調(diào)整時(shí)間和合適的阻尼比ζ=0．5。要使系統(tǒng)具備能控、能觀且易驗(yàn)證。步驟為：計(jì)算特征值。根據(jù)要求，設(shè)調(diào)整時(shí)間為3 s，并留有一定的余量，選擇期望的閉環(huán)極點(diǎn)：是一對(duì)具有ζ=
0．5，ωn=4的主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。μ1，μ2位于主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)的左邊，其影響較小，因此期望的特征根方程為：

4 仿真驗(yàn)證
建立直線一級(jí)倒立擺的仿真模型如圖3所示?！癎LlIPState―Space”為直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間模型。雙擊圖3中的“Poles Control”模塊，打開(kāi)圖4中的設(shè)置窗口。

把計(jì)算得到的K值輸入到上面的窗口?？傻脠D4所示的仿真運(yùn)行結(jié)果。

由圖5可見(jiàn)，在存在干擾的情況下，系統(tǒng)在3 s內(nèi)基本上可以恢復(fù)到新的平衡位置。

5 實(shí)時(shí)控制
將仿真得到的K參數(shù)輸入到實(shí)際系統(tǒng)的控制模塊中，可得圖6所示實(shí)時(shí)控制曲線。在給定倒立擺干擾后，系統(tǒng)響應(yīng)圖7所示。

6 結(jié)語(yǔ)
采用極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)的用于直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的控制器，可使系統(tǒng)在很小的振動(dòng)范圍內(nèi)保持平衡，小車振動(dòng)幅值約為4×10-3m，擺桿振動(dòng)幅值約0．05 rad，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約3 s。