用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器
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濾波器從廣義上來說對特定的頻點(diǎn)或頻點(diǎn)以外的頻率進(jìn)行有效濾波的電路，這種電路保留輸入信號中的有用信息，濾除不需要的信息，從而達(dá)到信號的檢測、提取、識別等不同的目的。如果處理的信號是時(shí)域離散信號，那么相應(yīng)的處理系統(tǒng)就稱為數(shù)字濾波器，由于在實(shí)際工作中被處理的信號都是幅度量化的數(shù)字信號，因此，數(shù)字濾波器實(shí)際上是用有限精度的算法實(shí)現(xiàn)一個(gè)線性時(shí)不變的時(shí)域離散系統(tǒng)。目前，數(shù)字濾波器的應(yīng)用越來越廣泛，它已深入到很多領(lǐng)域，如圖象處理、醫(yī)學(xué)生物信息處理、地質(zhì)信號處理和模式識別處理等。
數(shù)字濾波器的種類很多，分類方法也不同，可以從功能上分類，也可以從實(shí)現(xiàn)方法上及設(shè)計(jì)方法上來分類等等。濾波器在功能上總的可分為四類，即低通(LP)、高通(HP)、帶通(BP)、帶阻(BS)濾波器等，從實(shí)現(xiàn)方法上，由有限長沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器被稱為FIR濾波器，具有無限長沖激響應(yīng)的數(shù)字濾波器稱作IIR濾波器。
1 IIR濾波器的設(shè)計(jì)
1．1 雙線性變換法的基本原理
本文中用的是雙線性變換法，因此這里簡單介紹一下。雙線性變換法的S域與Z域間的變換關(guān)系為：
由式(1)可以看出，z和s之間可以直接代換，由于這是一非線性變換，需考察一下是否能把jΩ映射成單位圓，以及是否能將s域左半平面映射到單位圓內(nèi)部。
對于5平面上的虛軸jΩ，用s=jΩ代入式(1)得：
可見：
上式表明S平面與Z平面一一單值對應(yīng)，S平面的虛軸(整個(gè)jΩ)經(jīng)映射后確已成為z平面上的單位圓，但Ω與為非線性關(guān)系，因此，通過雙線性變換后兩個(gè)濾波器的頻率特性形狀不能保持相同，雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。
對于s域的左半平面，用s=σ+jΩ入式(1)，得到：
此式表明，當(dāng)σ0，有|z|1，因而s平面的左半平面被映射在單位圓內(nèi)部，這意味著穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換可以映射成穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。
1．2 IIR濾波器的設(shè)計(jì)
IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)借助模擬濾波器原型，再將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，這些過程已經(jīng)成為一整套成熟的設(shè)計(jì)程序。模擬濾波器的設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的公式，而且還有較為完整的圖表查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來很大的方便。
已知數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)要求wp，ws，Rp和As，首先設(shè)計(jì)一個(gè)等效的模擬濾波器，然后再將它映射為所期望的數(shù)字濾波器來確定H(z)。對這個(gè)過程所要求的步驟是：
1)選取T并確定模擬頻率：
利用設(shè)計(jì)參數(shù)Ωp，Ωs，Rp和As，設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器Ha(s)；這可以利用模擬濾波器的原型來完成；3)再將(1)代入Ha(s)，求出H(z)。
本文給定數(shù)字濾波器特性為：
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