2.4 從泛函到變分法

　　作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)分支，變分法(Calculus of Variations)在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及信息技術(shù)等諸多領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用。變分法是研究依賴于某些未知函數(shù)的積分型泛函極值的普遍方法。換句話說，求泛函極值的方法就稱為是變分法。

　　2.4.1 理解泛函的概念

　　變分法是現(xiàn)代泛函分析理論的重要組成部分，但變分法卻是先于泛函理論建立的。因此，即使我們不過深地涉及泛函分析之相關(guān)內(nèi)容，亦可展開對(duì)于變分法的學(xué)習(xí)。而在前面介紹的有關(guān)抽象空間的內(nèi)容基礎(chǔ)之上來討論泛函的概念將是非常方便的。

　　需要說明的是，此處我們所討論的僅限于實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的泛函。

　　如果把上述泛函定義中的線性賦范空間局限于函數(shù)空間的話，那么也可以從另外一個(gè)角度來理解此處我們所要討論的泛函。

　　此處所討論的部分主要是古典變分法的內(nèi)容。它所研究的主要問題可以歸結(jié)為：在適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類中選擇一個(gè)函數(shù)使得類似于上述形式的積分取得最值。而解決這一問題又歸結(jié)為求解歐拉-拉格朗日方程。這看起來并非一個(gè)多么復(fù)雜的問題，而且方法也似乎也平常無奇。但依靠這種方法，我們驚異地發(fā)現(xiàn)原來自然世界中許多千差萬別的問題居然能夠使用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)程序來求解，而且奇妙的變分原理還可以用來解釋無數(shù)的自然規(guī)律。在下一小節(jié)中，我們就將從最簡(jiǎn)泛函開始導(dǎo)出歐拉-拉格朗日方程。