引 言

基于FFT的頻譜分析方法可以從含有噪聲的信號中提取有用的信息，在儀器儀表的數(shù)據(jù)處理中具有重要的應(yīng)用價(jià)值。為了保證頻譜分析的精度，往往進(jìn)行多點(diǎn)的FFT運(yùn)算，例如，1024點(diǎn)、2048點(diǎn)等，這樣運(yùn)算量大、所占內(nèi)存也大，只有采用DSP(數(shù)字信號處理器)才能實(shí)現(xiàn)實(shí)時的處理。目前，在工業(yè)現(xiàn)場普遍使用的兩線制、低功耗自動化儀表，由于儀表本身消耗電流必須控制在4 mA之內(nèi)，所以無法采用DSP等運(yùn)算能力強(qiáng)的芯片，只能采用低功耗單片機(jī);而低功耗單片機(jī)的運(yùn)算速度和內(nèi)存容量都很有限，所以，至今未見用其進(jìn)行多點(diǎn)數(shù)FFT運(yùn)算的報(bào)道。為了能夠用低功耗單片機(jī)實(shí)時做FFT運(yùn)算，以提高自動化儀表信息處理的能力，我們用匯編語言編制FFT程序，在程序中用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算(以下簡稱定點(diǎn)FFT)，采取措施防止數(shù)據(jù)溢出，保證計(jì)算精度，合理分配內(nèi)存。測試結(jié)果表明，我們編制的程序在MSP430F、1611單片機(jī)上，完成一次2048點(diǎn)的基于FFT的頻譜分析和校正只需要500 ms，精度也達(dá)到要求，可以用于以低功耗單片機(jī)為核心的儀表中，實(shí)時完成信號處理任務(wù)。

1 定點(diǎn)運(yùn)算

1.1 數(shù)據(jù)表示

在MSP430中使用C語言實(shí)現(xiàn)FFT運(yùn)算，其乘法和加法運(yùn)算都是默認(rèn)使用浮點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的。于MSP430屬于定點(diǎn)單片機(jī)，因此浮點(diǎn)運(yùn)算必須由大量的定點(diǎn)指令模擬，這將耗費(fèi)大量的時間。因此我們針對MSP430的特點(diǎn)，使用匯編語言編制FFT程序，在程序中用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算，并將數(shù)據(jù)統(tǒng)一使用16位定點(diǎn)數(shù)表示。16位定點(diǎn)數(shù)中最高位(左邊的第1位)作為符號位，剩下的15位用于存放數(shù)值。數(shù)據(jù)格式如圖1所示。

1.2 數(shù)據(jù)定標(biāo)

定點(diǎn)單片機(jī)參與數(shù)值運(yùn)算的數(shù)都是16位的整型數(shù)，但是運(yùn)算過程中的數(shù)不一定都是整數(shù)。那么，定點(diǎn)計(jì)算過程中如何處理小數(shù)呢?這其中的關(guān)鍵就是由程序員來確定一個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)處于16位中的哪一位。這就是數(shù)的定標(biāo)。

通過設(shè)定小數(shù)點(diǎn)在16位數(shù)中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小數(shù)了。數(shù)的定標(biāo)有Q表示法和S表示法兩種。表1列出了一個16位數(shù)的16種Q表示、S表示及它們所能表示的十進(jìn)制數(shù)值范圍。

從表1中可以看出，同樣一個16位數(shù)，若小數(shù)點(diǎn)設(shè)定的位置不同，它所表示的數(shù)也就不同。例如，十六進(jìn)制數(shù)2000H=8192，用Q0表示;十六進(jìn)制數(shù)2000H=O.25，用Q15表示;但對于定點(diǎn)運(yùn)算來說，處理方法是完全相同的。下面簡要介紹如何使用定點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算模擬浮點(diǎn)數(shù)乘法。

設(shè)浮點(diǎn)乘法運(yùn)算的表達(dá)式為：float x，y，z;z=xy。假設(shè)經(jīng)過統(tǒng)計(jì)(這里“統(tǒng)計(jì)”的意思是所有計(jì)算中數(shù)據(jù)范圍都在定標(biāo)范圍內(nèi))后x的定標(biāo)值為Qx，y的定標(biāo)值為Qy，乘積z的定標(biāo)值為Qz，則z=xy;zq×2-Qz=xq×yq×2-(Qx+Qy);zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy)。所以，定點(diǎn)表示的乘法為：

1.3 FFT計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)定標(biāo)

為了在以MSP43F1611為處理器的儀表系統(tǒng)上進(jìn)行基于FFT的功率譜估計(jì)，必須先由MSP430F1611的ADC進(jìn)行采樣，而ADC采樣得到的數(shù)據(jù)需要經(jīng)過定標(biāo)后才能進(jìn)行定點(diǎn)計(jì)算。定標(biāo)過程為：ADC的采樣電壓范圍為0～2.5 V，因此，采樣過程實(shí)際上就是將信號電壓除以2.5進(jìn)行歸一化，使得采樣得到的數(shù)據(jù)范圍為O～1 V，此時數(shù)據(jù)就可用Q15表示，即將ADC的12位采樣結(jié)果寄存器中的數(shù)據(jù)右移4位保存起來，維持12位精度，轉(zhuǎn)換為Q15定點(diǎn)數(shù)表示。由于FFT運(yùn)算過程中，蝶形輸出相對蝶形輸入數(shù)據(jù)被放大了3倍，因此蝶形輸出數(shù)據(jù)范圍為一3～+3 V。此時數(shù)據(jù)如果仍然使用Q15表示，就會發(fā)生溢出，故改用Q13表示數(shù)據(jù)，即將12位ADC數(shù)據(jù)右移1位。實(shí)際上經(jīng)過處理后，ADC數(shù)據(jù)精度沒有變化，但使用Q13表示數(shù)據(jù)比用Q12表示數(shù)據(jù)，其蝶形輸出的數(shù)據(jù)精度高。這是由于定點(diǎn)計(jì)算時需要對蝶形輸出右移以防止溢出，而使用Q13表示數(shù)據(jù)比使用Q12表示數(shù)據(jù)少右移了1位，因此多了1位有效數(shù)據(jù)。FFT運(yùn)算過程中使用Q13表示數(shù)據(jù)，就使得加法乘法運(yùn)算都可以直接使用定點(diǎn)指令實(shí)現(xiàn)，減少了很多判斷處理，提高了運(yùn)算速度。使用Q13表示數(shù)據(jù)，即最高位(左邊的第1位)是符號位，剩下的15位表示數(shù)據(jù)的大小。表示數(shù)據(jù)大小的15位中，高2位(左邊的第2位和第3位)用來表示數(shù)據(jù)中的整數(shù)部分，在計(jì)算中作為保護(hù)位;最低的13位(右邊的13位)表示數(shù)據(jù)中的小數(shù)部分，如果經(jīng)過某次蝶形單元運(yùn)算后，最大值正好被放大3倍，此時數(shù)據(jù)就由13位擴(kuò)大到15位，保證數(shù)據(jù)不會增大到16位，沖走符號位，發(fā)生溢出。運(yùn)算完成后將FFT計(jì)算過程中的這一級所有結(jié)果都右移2位，就能夠使得這一級計(jì)算結(jié)果的最大值仍然可用13位表示，同時也可將這一級所有蝶形運(yùn)算輸出的數(shù)據(jù)同時縮小，保證下級計(jì)算。表示數(shù)值大小的15位數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)格式如圖2所示。

1.4 旋轉(zhuǎn)因子數(shù)據(jù)定標(biāo)

FFT運(yùn)算過程使用定點(diǎn)計(jì)算，且使用有符號乘法，必須始終保留1位作為符號位;而旋轉(zhuǎn)因子范圍為-1～1，因此可定標(biāo)為Q14，轉(zhuǎn)換為16位定點(diǎn)數(shù)。其轉(zhuǎn)換過程為：根據(jù)參與FFT運(yùn)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)計(jì)算出旋轉(zhuǎn)因子的正余弦表，然后將正余弦表乘以16384，即左移14位，最后四舍五人取整。如果使用Q15表示數(shù)據(jù)，即需要左移15位，那么正余弦表中最大值1，經(jīng)過上述處理后成為-1，發(fā)生溢出。

2 防止溢出，保證精度

FFT中的蝶形運(yùn)算如圖3所示。設(shè)蝶形輸入為：X1(k)，實(shí)部為X1(k)r，虛部為X1(k)i;X2(k)，實(shí)部為X2(k)r，虛部為X2(k)i。設(shè)蝶形輸出為：X(k)，實(shí)部為X(k)，，虛部為X(k)i;X(k+N/2)，實(shí)部為X(k+N/2)r，虛部為X(k+N/2)i。則有：

由式(1)和式(2)可以看出，蝶形輸出的實(shí)部和虛部是由3個數(shù)相加得到的，因此數(shù)據(jù)可能會放大3倍。如果計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)始終使用定點(diǎn)數(shù)表示，隨著級數(shù)的增加，就會發(fā)生溢出。例如，使用16位定點(diǎn)數(shù)表示，其最高位(從左數(shù)第1位)為符號位，其表示的數(shù)據(jù)范圍為-32 768～32 767。如果采樣得到的數(shù)據(jù)最大值為4 096，經(jīng)過兩級計(jì)算后蝶形最大輸出就可能為4096×3×3=36 864，超出了16位定點(diǎn)數(shù)的表示范圍。

下面介紹保證數(shù)據(jù)計(jì)算精度的方法。

為了提高計(jì)算速度，系統(tǒng)中使用定點(diǎn)數(shù)法運(yùn)算FFT，且使用Q13表示數(shù)據(jù)。蝶形運(yùn)算中，其蝶形輸出的數(shù)據(jù)的實(shí)部和虛部都使用3次加法運(yùn)算，即每級蝶形運(yùn)算都可能使數(shù)據(jù)擴(kuò)大3倍，因此，蝶形輸出的實(shí)部和虛部結(jié)果都需要右移2位(縮小4倍)以防止溢出。但隨著計(jì)算級數(shù)的增加，移位將會使數(shù)據(jù)變得越來越小。例如，128點(diǎn)FFT，總共需要7級運(yùn)算，數(shù)據(jù)最終將移位2×7=14位(縮小47=16 384倍)，因此當(dāng)信號幅值不夠大時，經(jīng)過多級運(yùn)算可能會無法分辨出主信號頻率。

設(shè)FFT運(yùn)算結(jié)果的主信號頻率點(diǎn)的對應(yīng)實(shí)部為r，虛部為i，其幅值為A(ADC的量化值)，參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為N，由FFT功率譜計(jì)算的性質(zhì)可得：

設(shè)經(jīng)過定點(diǎn)FFT運(yùn)算，也就是運(yùn)算過程中有移位，則該主信號頻率點(diǎn)的模為K，即：

聯(lián)立式(3)和式(4)，得

由于功率譜估計(jì)是找出功率譜中的最大值，確定主信號的頻率，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，使用定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算FFT，當(dāng)實(shí)部和虛部的模的平方K2為2時，就無法由功率譜分辨出主信號頻率。由式(5)可得：

因此，當(dāng)K2為2，N為128時，A=128×1.414=180.992=181，即當(dāng)信號的幅值為18l/4 096×2.538=112 mV，就分辨不出主信號頻率?？紤]K2為2的極限情況，當(dāng)A為724，N為512時，即給定信號幅值為724/4 096×2.538=449 mV時，就分辨不出主信號頻率。

為了防止計(jì)算結(jié)果經(jīng)過多次移位后，數(shù)據(jù)太小無法分辨主信號，系統(tǒng)針對定點(diǎn)FFT運(yùn)算采取如下處理：由于FFT定點(diǎn)運(yùn)算中，一般情況下，為了處理方便，每級蝶形運(yùn)算中乘法結(jié)果都限制在-1～1范圍內(nèi)，即乘法運(yùn)算的結(jié)果始終為小數(shù)(只有經(jīng)過加法運(yùn)算，數(shù)據(jù)才有可能超出-1～1范圍)，因此，通過判斷蝶形輸出的結(jié)果，決定是否移位。當(dāng)發(fā)現(xiàn)超出-1～1范圍，就將本級的所有蝶形運(yùn)算的輸出結(jié)果右移2位，沒有超出就不進(jìn)行移位。

3 內(nèi)存分配

由式(3)可知，功率譜估算時需要另外開辟一段內(nèi)存空間存儲功率譜結(jié)果。例如，當(dāng)進(jìn)行2048點(diǎn)基于FFT的功率譜分析時，需用1024個浮點(diǎn)數(shù)存放功率譜計(jì)算結(jié)果，這將占有很大一段內(nèi)存。但實(shí)際運(yùn)算中，每個頻率點(diǎn)功率，只與其FFT運(yùn)算結(jié)果中的對應(yīng)頻率點(diǎn)的實(shí)部、虛部有關(guān)，而與其他頻率點(diǎn)無關(guān)。因此功率譜運(yùn)算中，可采取以下步驟將存放實(shí)部的空間存放功率譜：

①實(shí)部、虛部數(shù)據(jù)平方計(jì)算。由于MSP430F1611內(nèi)部集成了硬件乘法器，因此可將乘法器的第一操作數(shù)寄存器(OP1)、第二操作數(shù)寄存器(OP2)寫入相同的數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)平方運(yùn)算。

②平方結(jié)果移位。平方結(jié)果需要右移13位，使用Q13表示，同時使用16位的臨時變量將平方結(jié)果保存。

③功率譜計(jì)算結(jié)果保存。實(shí)部平方結(jié)果、虛部平方結(jié)果相加后再存人原來的實(shí)部單元。

經(jīng)過上述步驟后，就可將原來存放實(shí)部、虛部數(shù)據(jù)的內(nèi)存單元再次利用。

定點(diǎn)FFT運(yùn)算過程中，還可將用來存放采集數(shù)據(jù)的內(nèi)存空間，再次用作存放FFT運(yùn)算過程中的實(shí)部數(shù)據(jù)，另外再開辟同等大小的內(nèi)存空間，存放虛部數(shù)據(jù)。例如，對于RAM空間為10 KB的MSP430F16ll來說，使用16位定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算FFT，最多能夠運(yùn)算2 048點(diǎn)。因?yàn)閷?shí)部、虛部結(jié)果都需4 096 KB，故共需8.192 KB，正好小于10KB;而運(yùn)算4 096點(diǎn)FFT時，共需16.384 KB，超出10 KB。

4 程序?qū)崿F(xiàn)

算法實(shí)現(xiàn)時使用如下方法簡化了程序運(yùn)算過程：

①C程序調(diào)用匯編FFT程序，同時為了處理方便將功率譜運(yùn)算過程也用C語言實(shí)現(xiàn)。為了使匯編程序中使用的內(nèi)存空間與C程序中的內(nèi)存空間地址不發(fā)生沖突，匯編程序中所需的變量都在C文件中定義。

②由于實(shí)部、虛部都使用C語音數(shù)組來存儲，當(dāng)計(jì)算點(diǎn)數(shù)很多時，數(shù)組將很大。例如，當(dāng)運(yùn)算2 048點(diǎn)FFT時，就需定義兩個長度為2 048的整形數(shù)組，這兩段數(shù)組不能用堆棧局部空間存儲，只能用全局?jǐn)?shù)組，由于C語言規(guī)定全局變量默認(rèn)初始化為0，MSP430的IAR編譯環(huán)境，進(jìn)入main函數(shù)之前的cstart函數(shù)中就用cstar_inh_zero函數(shù)對全局變量進(jìn)行初始化，由于定義的數(shù)組太長，初始化需要很長時間，導(dǎo)致程序還沒有進(jìn)入main函數(shù)，看門狗就已經(jīng)復(fù)位。因此定義全局?jǐn)?shù)組時，加上_no_init關(guān)鍵字。例如，定義一個數(shù)據(jù)長度為2 048的不需要初始化的整型數(shù)組，使用語句no_init int fft[2048]。

③為節(jié)約RAM內(nèi)存空間，將旋轉(zhuǎn)因子對應(yīng)的正余弦表制作成表格存放在ROM空間中，而蝶形運(yùn)算時可通過查表得到旋轉(zhuǎn)因子后再進(jìn)行FFT運(yùn)算。

④由于FFT運(yùn)算過程中的旋轉(zhuǎn)因子是通過左移14位取整得到的，因此蝶形運(yùn)算過程中需要乘法運(yùn)算結(jié)果右移14位。MSP430F1611單片機(jī)乘法器的結(jié)果寄存器，由高16位乘法結(jié)果寄存器RESFII、低16位乘法結(jié)果寄存器RESLO組成，右移14位操作就是保留高位結(jié)果寄存器所有內(nèi)容和低位結(jié)果寄存器中的高兩位，因此RESHI、RESLO一起向左移2位，然后保留高位結(jié)果寄存器作為乘法結(jié)果就可實(shí)現(xiàn)右移14位過程。

5 算法測試

為了驗(yàn)證算法的實(shí)時性和正確性，通過信號發(fā)生器產(chǎn)生標(biāo)準(zhǔn)信號送入所研制的基于MSP430f1611為核心的處理系統(tǒng)，對算法進(jìn)行了全面的測試。

(1)測試算法運(yùn)行時間

測試對2 048點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜估計(jì)所需要的總時間。預(yù)先設(shè)置MSP430F1611單片機(jī)的P5.4引腳為普通I/O，且為輸出方式，接著，循環(huán)執(zhí)行FFT運(yùn)算和功率譜估計(jì)程序，且每次開始FFT計(jì)算和功率譜估算前，將P5.4輸出電平翻轉(zhuǎn)，因此P5.4輸出的相鄰兩次翻轉(zhuǎn)電平的時間間隔就是FFT運(yùn)算和功率譜估計(jì)的總時間。通過數(shù)字存儲示波器觀測P5.4引腳輸出的信號波形，如圖4所示。

每次高低電平翻轉(zhuǎn)的時間間隔約為500 ms，即對2 048點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行功率譜估計(jì)總共需要500 ms。

(2)測試算法計(jì)算精度

由于FFT運(yùn)算的最大誤差發(fā)生在非整周期采樣時，所以，選擇這些最大誤差點(diǎn)來進(jìn)行測試。由于泄漏誤差，信號基頻表示為

f0=(k+d)fs/N (7)

式(7)中，k為整數(shù)，d為小數(shù)(定義d為泄漏誤差系數(shù))。由于泄漏誤差不超過頻率分辨率的二分之一，所以|d|≤O.5。當(dāng)d=O時，即為整周期采樣情況;當(dāng)d=O.5時，就是最大非整周期采樣的地方。因?yàn)樗兄频幕贔FT的頻譜分析方法將應(yīng)用于數(shù)字渦街流量計(jì)，在此，針對氣體40口徑頻率范圍為69～1 380 Hz，設(shè)定采樣頻率為3 717.472 199 Hz，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)為2 048，選擇不同的k值得到不同的頻率信號，由信號發(fā)生器產(chǎn)生幅值為60 mV的這些信號，送入兩線制渦街流量計(jì)信號處理系統(tǒng)低通濾波器前端，然后經(jīng)過預(yù)放大電路和低通濾波電路后，送入MSP430F1611進(jìn)行頻率估計(jì)。