學(xué)習(xí)如何推導(dǎo)無損傳輸線的波動方程，并觀察其無限帶寬和相位常數(shù)。

當(dāng)你開始學(xué)習(xí)射頻設(shè)計時，可能會遇到的一個令人惱火的事情是傳輸線效應(yīng)。在過去的好日子里，當(dāng)你在低頻板上工作時，電線只是一些互連，現(xiàn)在卻變成了一些令人生畏的方程式所描述的復(fù)雜組件！起初，這可能看起來很煩人；然而，隨著你對輸電線路的了解越來越多，你最終可能會把它們看作是因禍得福，并開始意識到所有這些復(fù)雜性。由于其“分布式”特性，無損傳輸線可以提供無限帶寬。這與我們對低頻電路的直覺形成了鮮明對比。

在本文中，我們將推導(dǎo)無損傳輸線的波動方程，并研究其無限帶寬的顯著特征。然而，在此之前，讓我們解釋一下輸電線路的“分布式”性質(zhì)是什么意思。

集中式與分布式方案

當(dāng)電路尺寸與電路中最短波長相當(dāng)時，電線應(yīng)被視為傳輸線。這突顯了電路元件和互連的兩種操作模式之間的界限，即“集中”和分布式模式。在集總方案中，我們處理較低的頻率，并且假設(shè)電信號以無限快的速度通過電線。術(shù)語集總是指我們可以在電路的某些特定區(qū)域識別出單獨的電容器和電感器。例如，考慮圖1所示的無源帶通濾波器。

圖1 無源帶通濾波器的示例圖

在上圖中的“區(qū)域A”中，磁性儲能占主導(dǎo)地位，因此，電路的這一部分表現(xiàn)為電感性。另一方面，在“區(qū)域B”中，電能存儲在電場中，這意味著這部分被建模為電容器。在這個例子中，一些集總電容器、電感器等可用于模擬電路行為。我們在大學(xué)第一學(xué)期教授的電路理論和分析實際上是集總元件電路分析。對于集總電路，可以很容易地應(yīng)用基爾霍夫電壓定律（KVL）和基爾霍夫電流定律（KCL）來計算電路中的電壓和電流。

相比之下，在分布式系統(tǒng)中，我們無法識別單獨的電容器和電感器。例如，分布式系統(tǒng)中的均勻無損導(dǎo)線被建模為LC截面的無限梯形網(wǎng)絡(luò)（圖2）。

圖2 LC段的無限梯形網(wǎng)絡(luò)

該模型表明，每根無限短的電線都以磁場和電場的形式儲存能量。這兩種形式的能量存儲分布在整個電線中。在這種情況下，我們無法將電路的電容性和電感性部分分開；它們混合在一起。

此外，在分布式系統(tǒng)中，電信號沿著電線以波的形式傳播，這意味著電壓和電流是沿著電線的時間和位置的函數(shù)。因此，我們可以說KVL和KCL在高頻下不成立。

在下一節(jié)中，我將嘗試以一種相對接近的方式推導(dǎo)相位常數(shù)方程。如果你對學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)不感興趣，你可以跳過下一節(jié)，從“方程式摘要”部分繼續(xù)。

推導(dǎo)相位常數(shù)方程

無損傳輸線可以用兩個重要參數(shù)來表征：特性阻抗Z0和相位常數(shù)β。特性阻抗指定了無限長線路的電壓波與電流波的比率。相位常數(shù)表征了波如何隨位置變化。對于無損線，Z0由方程1給出：

方程式1

為了推導(dǎo)β的方程，我們需要找到圖3中梯形網(wǎng)絡(luò)模型中出現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)電壓和電流信號。

圖3 梯形網(wǎng)絡(luò)模型

根據(jù)第一LC部分的電壓和電流參數(shù)，基爾霍夫電壓定律得出：

將兩邊除以Δx，我們得到：

如果我們考慮當(dāng)Δx接近零時該方程的極限，則左側(cè)的表達(dá)式實際上變?yōu)関（x，t）相對于x的導(dǎo)數(shù)。因此，上述方程可以改寫為方程2：

方程式2

對于一條無限長的線，沿線任何一點的電壓與電流之比等于Z0。從方程式1中，我們得到：

通過替換方程2中的i（x，t），得到方程3：

方程式3

現(xiàn)在，兩側(cè)都是線電壓，但左側(cè)是v（x，t）相對于位置的導(dǎo)數(shù)，而右側(cè)包括函數(shù)相對于時間的導(dǎo)數(shù)。由于我們想要正弦激勵的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（如vs（t）=Acos（ωt）），我們可以使用電路理論中的相量概念。

對于這種分析，我們可以假設(shè)輸入是復(fù)指數(shù)電壓Aejωt，而不是vs（t）=Acos（ωt），然后我們找到感興趣的電壓或電流信號。最后，我們?nèi)∷@得信號的實部，以找到實際輸入vs（t）=Acos（ωt）產(chǎn)生的輸出。

當(dāng)我們將Aejωt應(yīng)用于電路時，ejωt項出現(xiàn)在所有電壓和電流量中。例如，v（x，t）可被視為v（x）ejωt，其中v（x）是一個復(fù)數(shù)值，稱為v（x，t）的相量。在基本電路理論中，相量顯然不依賴于位置，因為我們處理的是集總電路。然而，在輸電線路分析中，我們預(yù)計相量是位置的函數(shù)。將v（x，t）代入v（x）ejωt，方程式3得出：

V（x）不是時間的函數(shù)，ejωt也不是x的函數(shù)。因此，使用一點代數(shù)，上述方程簡化為：

EE應(yīng)該熟悉這個一階微分方程的解：

其中V0是一個常數(shù)，可以從線路輸入和輸出端口的邊界條件中找到。從相量分析中，我們知道V（x）ejωt的實部是如果我們將vs（t）=Acos（ωt）應(yīng)用于輸入時得到的輸出。因此，我們的最終電壓波為：

定義相位常數(shù)

 β=ω√LC

，我們得到：

方程式4

這與我們在上一篇文章中討論電壓波如何沿傳輸線傳播時使用的波函數(shù)相同。將方程4除以Z0得到正向電流波，如方程5所示：

方程式5

無損過渡線方程概述

在上一節(jié)中，我們推導(dǎo)了正向電壓和電流波的方程。一般來說，正向波和反射波都可以同時出現(xiàn)在線路上。對于無損線路，整體電壓和電流波的形式如下：

其中特性阻抗Z0和相位常數(shù)β為：

輸電線路的分布式效應(yīng)：是期望的還是麻煩的？

由于高頻電信號的波動行為，射頻設(shè)計人員癡迷于將負(fù)載阻抗與線路的特性阻抗相匹配。如果沒有阻抗匹配，最大功率就無法傳輸?shù)截?fù)載，駐波產(chǎn)生的大峰值電壓會損壞電路組件或互連。然而，傳輸線的分布行為導(dǎo)致了一個非常有趣的特性。 

基于上述分析，如果我們以任意頻率ω1的正弦vs（t）=Acos（ω1t）激勵線路，則正向電壓波為：

替換β，我們得到：

我們在給定位置x獲得的信號與輸入相同，除了它延遲了

 $$x\sqrt{LC}$$.

此結(jié)果對任何頻率都有效。唯一的假設(shè)是該線路是無損的，并且充當(dāng)傳輸線。如果延遲與頻率有關(guān)，則輸入的不同頻率分量將經(jīng)歷不同量的延遲，從而導(dǎo)致輸出失真。例如，如果我們向具有頻率相關(guān)延遲的系統(tǒng)施加脈沖，輸出可能會完全失真，因為不同的頻率分量以不相等的時間偏移到達(dá)輸出。

如方程式所示，無損傳輸線以相同的延遲通過所有頻率分量。換句話說，該線路具有無限帶寬。如果我們增加L和C，延遲也會增加，但所有頻率分量的延遲仍然是恒定的。如果你將其與我們對集總低頻電路的直覺進(jìn)行比較，你會發(fā)現(xiàn)這個功能更令人驚訝，因為增加電容值通常會降低系統(tǒng)帶寬。

除了均勻延遲外，我們還應(yīng)該有一個與頻率無關(guān)的衰減，以使系統(tǒng)具有無限帶寬。在上述討論中，我們假設(shè)線路是無損的，因此，所有頻率的衰減都是零。

有損的輸電線路呢？

在現(xiàn)實世界的傳輸線中，損耗可能由許多因素造成，如導(dǎo)體損耗（趨膚效應(yīng)）、介電損耗和磁滯效應(yīng)。這些損失也與頻率有關(guān)。然而，即使使用有損傳輸線，也可以調(diào)整線路參數(shù)以具有均勻的衰減和群延遲（至少在原則上）。要了解更多信息，您可以參考Thomas H.Lee的《CMOS射頻集成電路的設(shè)計》一書。

高階模式傳播

除了損耗分量外，還有另一個因素限制了傳輸線的可用帶寬。隨著頻率越來越高，信號的波長最終變得與傳輸線的橫截面尺寸相當(dāng)。在這種情況下，會產(chǎn)生與我們通常預(yù)期不同的電磁場配置。這些模式被稱為高階傳播模式。高階模的傳播速度不同于主模的傳播速率。因此，我們通常試圖在傳輸線的第一高階模式以下操作傳輸線。例如，根據(jù)導(dǎo)體的尺寸和所采用的電介質(zhì)類型，可以指定同軸線工作高達(dá)約18GHz，以避免高階模的傳播。