2 定點小數(shù)表達(dá)方式

為了精確構(gòu)造數(shù)字濾波器，經(jīng)常要用到浮點數(shù)據(jù)和系數(shù)。在進(jìn)行浮點數(shù)乘法運算時，針對AVR 單片機(jī)設(shè)計的C編譯器例如AVR-GCC，需要加入額外的數(shù)學(xué)庫函數(shù)進(jìn)行編譯。而這會使編譯后程序的代碼量增加、處理時間加長、處理器的開銷也隨之增加。為了更大限度地降低系統(tǒng)開銷，提高程序效率，采用定點小數(shù)表示形式進(jìn)行乘法運算是最佳選擇。

AVR 單片機(jī)是一種8位精簡指令集(RISC)單片機(jī)。其中megaAVR 系列內(nèi)部都帶有一個硬件乘法器，計算一次8位乘8位的定點乘法只需2個時鐘周期。因此采用8位定點采樣數(shù)據(jù)乘以8位系數(shù)的定點乘法方式完成濾波算法是最高效的。

低通濾波處理涉及的運算形式為一個純小數(shù)系數(shù)和一個已知數(shù)據(jù)相乘再相加。因此將系數(shù)采用定點小數(shù)的表示形式，對于提高算法速度是至關(guān)重要的，可以定義一種8 位定點小數(shù)表示形式--Q8 數(shù)，其各位權(quán)系數(shù)如下：

Q8 數(shù)的表示范圍從0到1-2-8=0.99609375，每兩個數(shù)之間的間隔是2-8（0.00390625），其所能表達(dá)的純小數(shù)共有28=256個。例如11011000就表示2-1+2-2+2-4+2-5=0.84375，而11011001 就是表示2-1+2-2+2-4+2-5+2-8=0.84765625 ，因此0.84375 和0.84765625 之間的純小數(shù)只能用這兩個數(shù)中的一個近似表示了。這對于乘法計算的精度有一定的影響，但是由于濾波公式(3)中的系數(shù)a和(1-a)都是常數(shù)，在整體性能穩(wěn)定的情況下，系數(shù)微小的不確定性對濾波器整體性能并沒有太大的影響。

3 分配系數(shù)法原理

從(3)式可知，濾波算法可以用迭代計算實現(xiàn)，為保證每個新的輸出值都可以作為下次計算的輸入值，必須使輸出值和輸入值的位寬度一致。 AVR單片機(jī)內(nèi)部硬件乘法器的輸出結(jié)果為16 位，兩次乘法運算的結(jié)果還要進(jìn)行加法運算，其結(jié)果很有可能超過16 位寬度。如果要進(jìn)行迭代計算，就要將乘加運算的結(jié)果轉(zhuǎn)化成8 位表示方式。一種解決方法是用查表法實現(xiàn)乘法計算，這樣運算結(jié)果就直接表達(dá)成8 位定點數(shù)形式，不用進(jìn)行表示方式的轉(zhuǎn)化，但是這種方案要占用額外的硬件存儲空間構(gòu)造一張查找表。

可以從逆向進(jìn)行思考：由(3)式可知，每個新的輸出值y(k)都與上一次的輸出值y(k-1)和新的輸入值x(k)有關(guān)。 y(k-1)和x(k)都是8 位的，因此最大值為0xFF。為了使a×y(k-1)+(1-a)×x(k)不超過0xFFFF，兩個系數(shù)a和(1-a)的和不能超過0xFFFF/0xFF=0x101 。實際上，a+(1-a)等于“1” ，因此這里的0x101 就可以看作“1” 。如果取a=0.9，那么對應(yīng)地將0x101 平均分成10份，取其中的9 份，即0x101×0.9 近似等于0xE7 ，相應(yīng)地0.1 就等于0x101-0xE7=0x1A。這里的0xE7 可以近似被認(rèn)為是0.9 的一種定點Q8 數(shù)表示形式，而0.1 的定點Q8 數(shù)表示形式就是0x1A。由于濾波器系數(shù)a和(1-a)采用了Q8 數(shù)的表示形式，這種將16 位乘加運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為8 位定點數(shù)表示形式的工作就變得簡單了，只需通過移位運算，取y(k)的高8 位即可，對應(yīng)的C語言代碼為：

y(k)=(char)(y(k)>>8)

在C語言編程處理中，并不需要建立一個數(shù)組來儲存y(k)的值，而只需定義兩個unsigned char型的變量分別儲存y(k-1)和x(k) 。當(dāng)乘加計算a×y(k-1)+(1-a)×x(k)，將結(jié)果轉(zhuǎn)化成8 位定點數(shù)形式，再將其賦值給y(k-1)所對應(yīng)的變量即可。因此采用迭代方式進(jìn)行乘加運算后，整個運算過程只需要兩個變量和兩個常數(shù)參加即可。

通過這種處理，y(k)就可以作為計算下一次輸出值y(k+1)的一個已知量，并繼續(xù)與Q8 數(shù)形式的濾波器系數(shù)相乘，得到新的輸出值。這種處理方式簡化了乘加運算的完成過程，節(jié)省了系統(tǒng)硬件資源，并降低了處理器開銷。

4 采樣時間的控制

采用單片機(jī)進(jìn)行數(shù)字信號處理，一種有效而準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)采集方式就是通過計數(shù)器中斷服務(wù)程序(ISR)控制AD對輸入信號進(jìn)行精確采樣。但是(圖2)中斷服務(wù)程序(ISR)的開銷影響了AD采樣時間間隔的精確度，同時如果中斷服務(wù)程序(ISR)的開銷過大，必然導(dǎo)致AD的最高采樣頻率的降低。因此，要想獲得精確的采樣頻率，就必須在盡量減少中斷服務(wù)程序開銷的前提下，適當(dāng)調(diào)整計數(shù)器中斷的時間間隔。這可以通過調(diào)整OCRO的預(yù)置數(shù)來完成。

5 算法流程圖

濾波算法是通過中斷服務(wù)程序(ISR)來完成的，整個應(yīng)用程序的主函數(shù)main()主要負(fù)責(zé)初始化計數(shù)器中斷，并處理其它應(yīng)用。整個程序的流程圖如圖3 所示。