式中，u(t)為PID控制器的輸出，t為采樣時間，kp為控制器的比例增益；e(t)為PID控制器的偏差輸入，即給定值與測量值之差；TI為控制器的積分時間常數(shù)；TD為控制器的微分時間常數(shù)。
1．2 模糊自適應(yīng)PID控制器原理
自適應(yīng)模糊PID控制器是以誤差e和誤差的變化率ec作為輸入，可以滿足不同時刻的e和ec對PID參數(shù)自整定的要求。其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等各個方面來考慮，kp、ki、kd的作用如下。
1)比例系數(shù)kp的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度，kp越大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度越高，但易產(chǎn)生超調(diào)，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。
2)積分系數(shù)ki的作用是消除系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。ki越大，系統(tǒng)的靜態(tài)誤差消除的越快，但ki過大，在響應(yīng)過程的初期會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，從而引起響應(yīng)過程的較大超調(diào)。
3)微分作用系數(shù)kd的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)特性，其作用主要是在響應(yīng)過程中抑制偏差向任何方向變化，對偏差變化進行提前預(yù)報。但kd過大，會使響應(yīng)提前制動，從而延長調(diào)節(jié)時間，而且會降低系統(tǒng)的干擾性能。
1．3 模糊自適應(yīng)PID控制系統(tǒng)的設(shè)計
設(shè)計模糊自適應(yīng)PID控制系統(tǒng)的核心是設(shè)計模糊控制器，在設(shè)計模糊控制器的過程中，確定模糊控制器的結(jié)構(gòu)、建立模糊規(guī)則并選定近似推理算法是兩個核心工作，與之配套的是設(shè)計模糊化模塊、選擇模糊子集的隸屬度函數(shù)、設(shè)計清晰化模塊并選擇清晰化方法。其中根據(jù)積累的人工操作經(jīng)驗或測試數(shù)據(jù)，建立模糊控制規(guī)則是設(shè)計最為核心的工作。
1．3．1 量化因子和比例因子
量化因子和比例因子除了進行論域變換，使前后模塊匹配之外，在整個系統(tǒng)中還有一定的調(diào)節(jié)作用。因為它的變化相當于對實際測量信號的放大或縮小，直接影響著采樣信號對系統(tǒng)的調(diào)節(jié)控制作用。文中為了便于比較模糊自適應(yīng)PID與經(jīng)典的PID控制效果，將kp、ki、kd 3個因子不再變化，而是通過改變模糊論域和量化因子、比例因子的方法改變輸出量。
1．3．2 模糊論域及隸屬度函數(shù)的確定
E為輸入誤差e的語言變量，EC為誤差變化率的語言變量。{-3，-2，-1，0，1，2，3}為E和EC的論域，它們的模糊子集為{NB(負大)，NM(負中)，ZO(零)，PS(正小)，PM(正中)，PB(正大)}。它們的模糊子集為{NB(負大)，NM(負中)，ZO(零)，PS(正小)，PM(正中)，PB(正大)}。kp、ki、kd的量化范圍為(-0．3，0．3)，(-0．06，0．06)，(-3，3)。其隸屬度曲線如圖3所示。通過各曲線的比較，隸屬度曲線采用雙高斯型曲線。kp、ki、kd的隸屬度曲線和圖3相似，只是論域范圍不同。

1．3．3 解模糊方法
模糊推理采用廣泛應(yīng)用的Mamdani算法，其合成方式直接采用極大極小運算。本仿真在對其他解模糊方法嘗試的基礎(chǔ)上，通過比較選出最優(yōu)方法——最大隸屬度中取小方法即som法。
設(shè)有n個點的隸屬度都取最大值，即A(uj)=max(A(u))，j=1，2，…n，則取絕對值最小的點min(|uj|)=|uk|作為模糊集合的代表點。