摘要：提出了一種新的基追蹤求解算法。依據(jù)信號特性自適應(yīng)地選取字典；通過l1范數(shù)的近似表示，將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，并利用一種新的迭代算法進(jìn)行快速求解；幾類典型信號實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本方法具有良好的去噪效果。 關(guān)鍵詞：基追蹤 字典 去噪 基追蹤方法是信號稀疏表示領(lǐng)域的一種新方法。它尋求從完備的（過完備）函數(shù)（基）集合中得到信號的最稀疏的表示，即用盡可能少的基精確地表示原信號，從而獲得信號的內(nèi)在本質(zhì)特性?；粉櫡椒ú捎帽硎鞠到y(tǒng)的范數(shù)作為信號稀疏性的度量，通過最小化l1范數(shù)將信號稀疏表示問題定義為一類有約束的極值問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題進(jìn)行求解。 目前，基追蹤方法在一維信號處理領(lǐng)域有很好的應(yīng)用。以David L.Donoho為代表的斯需求量福大學(xué)統(tǒng)計系工作組利用基追蹤方法在一維實(shí)信號去噪和超分辨方面取得取了很多很好的應(yīng)用結(jié)果。盡管使用了一種新的線性規(guī)劃算法——內(nèi)點(diǎn)算法，基追蹤方法由于要在所有的字典向量中極小化一個全局目標(biāo)函數(shù)，其計算量仍然是很大的。正因?yàn)榍蠼獯蟪叨染€性規(guī)劃問題的困難，目前的基追蹤方法局限于一維的信號去噪和超分辨處理。本文提出一種新的思路來求解上述有約束的極值問題。首先依據(jù)信號特性自適應(yīng)地選取字典；通過l1范數(shù)的近似表示，將有約束的極值問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，并利用一種迭代算法進(jìn)行快速求解；最后通過幾類典型信號去噪實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證本方法的應(yīng)用效果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)的基追蹤方法能夠快速穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)，。同時具有良好的去噪效果。1 字典的構(gòu)造 對于觀測到的離散信號s∈H,H為Hilbert空間，給定H中的字典φ={φγ，γ∈Γ}，其中Γ為指標(biāo)集，φγ為H中的基函數(shù)，也稱為原子?；粉櫡椒▽⑿盘栂∈璞硎締栴}定義為以下有結(jié)束的極值問題，即 其中，αγ（γ∈Γ）為表示系數(shù)。如果將字典中的向量表示成矩陣φ的例，系數(shù)表示成一個列向量，則（1）式可表示成 min||α||1 subject to s=φα (2) 在含噪觀測的情況下，考慮如下模型： y=s+σz 其中s為真實(shí)信號，y為觀測信號，z為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲，σ為噪聲根方差。基追蹤方法去噪歸結(jié)為求解以下優(yōu)化問題： 以上最優(yōu)化問題致力于最小化信號重建誤差，同時使得信號的表示最稀疏。正則化參數(shù)λ控制著允許誤差與稀疏性之間的平衡。 由（3）式可見，基追蹤方法去噪的核心問題涉及到原子的選取、字典的構(gòu)造、求解算法設(shè)計等三個方面。其中，字典的構(gòu)造是基追蹤方法的重要環(huán)節(jié)。為了盡可能精確地表示信號，字典與信號應(yīng)用是自適應(yīng)的，或者說字節(jié)是從信號的學(xué)習(xí)中得到的。通常，基追蹤方法所使用的字典有完備的、過完備的、欠完備的等?？梢愿鶕?jù)信號的先驗(yàn)信息及實(shí)際需要設(shè)計字典。一般設(shè)計的字典是完備或過完備的。對于簡單信號去噪，一般只需要構(gòu)造完備的字典。對于復(fù)合信號對噪問題，通常需要構(gòu)造過完備的字典。對于完備字典，同樣存在信號的稀疏表示問題，因?yàn)樵肼暱偸翘幪幤娈惖摹１疚乃捎玫淖值渲饕校? （1）Heaviside字典 此字典中原子不是正交的，但是對于任意長度為n的一維離散信號s=(s1s2…sn)都有以下表示： Heaviside字典具有上三角形式，結(jié)構(gòu)簡單，善于捕捉分片常數(shù)信號中的突變特征。 （2）時間-尺度字典（小波字典） 以Haar小波字典為例： 你小波基：ψ=l[0,1],母小波基：ψ=1[1/2,1],1-1[0,1/2] Haar小波字典中包含小波基的平移和伸縮變換以及小波基的平移變換。 設(shè)ψ=（a,b,v），其中α∈（0，∞）為尺度變量，b∈[0，n]表征位置，v∈{0,1}表征性別。Haar小波字典形式為： 包含n個原子，構(gòu)成一組正交基。當(dāng)然還有其它類型的小波字典，盡管有些小波基沒有類似Haar小波基這樣明確的小波函數(shù)表達(dá)式，但它們的字典都有與Haar小波字典類似的離散結(jié)構(gòu)。比較常用的主要用Daubechies、Coiflet、Symmlet等。小波字典應(yīng)用于表示分片光滑信號。 （3）Heaviside字典+小波字典 對于比較復(fù)雜的復(fù)合信號，單一的字典下無法得到信號的最稀疏表示，此時可將幾種字典合成，從而得到過完備的字典。例如Heaviside字典+小波字典。 2 新的求解算法 文獻(xiàn)[1]將（3）式等階于如下二次規(guī)劃問題： 文獻(xiàn)[1]采用內(nèi)點(diǎn)算法求解以上二次規(guī)劃問題。這種算法收斂性能穩(wěn)定，但由于它是一種大尺度的線性規(guī)劃算法，復(fù)雜度高，所耗費(fèi)的計算時間非常長，不便于實(shí)際應(yīng)用，為此，針對（3）式，采用一種新的迭代算法來求解以上最優(yōu)化問題。 首先，給出l1范數(shù)的平滑近似 其中，N為向量z的長度，ε為非常小的常數(shù)（ε>0），本文取ε=10 -6)。 其中，β為迭代步長，0<β≤1,迭代初值可取α（0）=φHY。迭代的終止條件由控制（本文取δcG=10 -3），這樣即可得到優(yōu)化問題的解α。在得到表示系數(shù)α的估計α后，可由s=φα得到的重構(gòu)的信號。 3 正則化參數(shù)λ的選取 在所考慮的噪聲為高斯白噪聲以及對字典φ進(jìn)行規(guī)范化（||φγ||2=1）的情況下，文獻(xiàn)[1]中λ的經(jīng)驗(yàn)值取為，其中，P為字典φ的勢。此經(jīng)驗(yàn)值實(shí)際對應(yīng)于正交基下小波小噪方法的中閾值。因此這種參數(shù)的選取方法依賴于對信號中的噪聲方差的精確估計。而對噪聲方差的精確估計通常是比較困難的。因此該經(jīng)驗(yàn)值是一種次優(yōu)值。可從另一個角度來考慮正則化參數(shù)的選取方法。容易證明，在對字典φ進(jìn)行正交化后，目標(biāo)函數(shù)具有單峰性質(zhì)（目標(biāo)函數(shù)為函數(shù)），因此可通過最小化目標(biāo)函數(shù)，在迭代算法中用線性搜索的方法尋求最優(yōu)。4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果 為了驗(yàn)證本方法的去噪效果，將其應(yīng)用于一維信號去噪實(shí)驗(yàn)，并與小波軟、硬閾值去噪方法以及Wiener濾波方法進(jìn)行了比較。 設(shè)計二組一維實(shí)信號，即分片常數(shù)信號和分片光滑信號。其中分片光滑信號“Heavisine”是由下式產(chǎn)生的一種信號： 對二組信號附加高斯白噪聲。其中第一組噪聲根方差σ=0.2，第二組噪聲根方差為σ=0.5。去噪結(jié)果如圖1和圖2所示。分片常數(shù)信號實(shí)驗(yàn)中的小波方法所采用的小波基為Haar小波基，分片光滑信號實(shí)驗(yàn)中的小波方法所采用的小波基為Sym8小波基。依據(jù)信號的特性，分片常數(shù)信號實(shí)驗(yàn)中基追蹤方法采用Heaviside完備字典，分片光滑信號實(shí)驗(yàn)中基追蹤方法采用Heaviside+Sym8小波字典合成的過完備字典。表1對各種方法的信噪比改善程度進(jìn)行了比較。在配置為奔4 Celeron(1.8G)微機(jī)上運(yùn)動未經(jīng)優(yōu)化的Matlab程序，分片常數(shù)信號實(shí)驗(yàn)總過程耗時約9s，分片光滑信號實(shí)驗(yàn)總過程耗時約80s。表1 信噪比的比較結(jié)果 SNR含噪信號Wiener波波小波軟閾值方法小波硬閾值方法本文方法分片常數(shù)信號18.33dB22.02dB24.91dB24.03dB25.99dB分片光滑信號16.13dB22.41dB21.78dB21.75dB24.69dB理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法能夠快速穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)，同時具有良好的去噪效果。與傳統(tǒng)去噪方法相比，基追蹤方法對于信噪比的改進(jìn)程程度更高，同時它能有效地保持信號中的重要特征。