Widrow和Hoff等人于1960年提出最小均方誤差(LMS)算法，由于其結(jié)構(gòu)簡單，計(jì)算量小，穩(wěn)定性好，易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而得到廣泛的應(yīng)用。LMS算法的缺點(diǎn)是收斂速度慢，它克服不了收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差這一對(duì)固有矛盾：在收斂的前提下，如果步長取較大值，雖然收斂速度能得到提高，但穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)隨之增大，反之穩(wěn)態(tài)誤差雖然降低但收斂速度就會(huì)變慢。為解決這一矛盾，人們提出了許多改進(jìn)型自適應(yīng)算法。其中很大一類是變步長LMS算法。文獻(xiàn)[4]提出Sigmoid函數(shù)變步長LMS算法(SVSLMS)。該算法在初始階段或未知系統(tǒng)的系數(shù)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其步長較大，從而使該算法有較快的收斂速度；而在算法收斂后，不管主輸入端干擾信號(hào)e(n)有多大，都保持很小的調(diào)整步長，從而獲得較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲。但Sigmoid函數(shù)過于復(fù)雜，且在誤差e(n)接近零處變化太大，不具有緩慢變化的特性，使得SVSLMS算法在自適應(yīng)穩(wěn)態(tài)階段仍有較大的步長變化；文獻(xiàn)[5]提出的算法引入了多個(gè)調(diào)整參數(shù)，因而步長因子不易設(shè)計(jì)和控制；文獻(xiàn)[6-8]提出了3種與誤差信號(hào)成非線性關(guān)系的步長設(shè)計(jì)方法，該類算法具有較好的收斂性能，但3種算法在計(jì)算步長因子時(shí)，都存在指數(shù)運(yùn)算。在數(shù)字信號(hào)處理中，進(jìn)行一次指數(shù)運(yùn)算需要的計(jì)算量，相當(dāng)于進(jìn)行多次乘法運(yùn)算的計(jì)算量。

因此這類算法在實(shí)現(xiàn)時(shí)，增大了計(jì)算復(fù)雜度。為克服上述變步長LMS自適應(yīng)濾波器存在的不足，在此提出了一種新的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法，該算法具有良好的收斂性能，較快的收斂速度，較小的穩(wěn)態(tài)誤差．良好的魯棒性，并且在求變步長因子時(shí)計(jì)算量較小。

1 新的變步長LMS算法分析

基本的固定步長LMS算法的迭代公式可以表述為：



式中：X(n)表示時(shí)刻n的輸入信號(hào)矢量；W(n)表示時(shí)刻n自適應(yīng)濾波器的權(quán)系數(shù)；d(n)是期望輸出值；e(n)是誤差；μ是控制穩(wěn)定性和收斂速度的參量(步長因子)。本文基于文獻(xiàn)[6，7]建立一個(gè)步長μ(n)和誤差e(n)的函數(shù)關(guān)系：反正切函數(shù)是一個(gè)關(guān)于自變量的增函數(shù)，且在零附近變化平緩，而且是一個(gè)有界函數(shù)，函數(shù)值不會(huì)發(fā)散。根據(jù)W(k+1)=W(k)=w*=最佳Wiener解，即2μ(n)e(n)X(n)=0并且0μ(n)1／λmax，即Oe(n)X(n)O=0，求得e(n)最小值。
根據(jù)上述討論，可將新算法的變步長μ(n)取為：

μ(n)=βαtan(αOe(n)X(n)O)

初始時(shí)刻Oe(n)X(n)O很大，由于反正切是一個(gè)自變量的增函數(shù)，所以μ(n)較大；隨著算法不斷地向穩(wěn)態(tài)趨近，Oe(n)X(n)O不斷減小，μ(n)也隨之不斷減??；當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，Oe(n)X(n)O很小，μ(n)也很小，此時(shí)的穩(wěn)態(tài)失調(diào)誤差也很小。

由圖1可看出α越大，相同誤差水平時(shí)的步長也越大，但在誤差接近為零時(shí)步長變化越劇烈。圖2是β取不同值時(shí)的步長變化曲線，可以看出隨著β的減小步長也在減小。



2 仿真及結(jié)果分析

下面通過計(jì)算機(jī)仿真來驗(yàn)證算法的收斂性能。仿真條件為：自適應(yīng)濾波器的階數(shù)為L=2；未知系統(tǒng)的FIR系數(shù)為W=[0，0]^T；參考輸入信號(hào)x(n)是零均值，方差為1的高斯白噪聲；v(n)為與x(n)不相關(guān)的高斯白噪聲。分別做200次獨(dú)立的仿真，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，然后求其統(tǒng)計(jì)平均，得出學(xué)習(xí)曲線。

圖3是α固定，不同β值對(duì)應(yīng)的收斂曲線。隨著β值的增大，算法的收斂速度逐漸加快。圖4是β保持不變，不同α值對(duì)應(yīng)的收斂曲線，隨著α逐漸減小，算法的誤差也隨之減小，但達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間逐漸增加。

文獻(xiàn)[7]提出了一種改進(jìn)的變步長LMS算法，其步長變化為e(n)X(n)的函數(shù)：

μ(n)=β[1-exp(-αOe(n)x(n)O²)]

該算法取α=15，β=0.3。圖5是在第500個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻未知系統(tǒng)發(fā)生時(shí)變，系數(shù)矢量變?yōu)閃=[0.2，0.5]^T時(shí)本文算法與文獻(xiàn)[7]算法的比較，分別做500次獨(dú)立的仿真，然后求其統(tǒng)計(jì)平均，得出學(xué)習(xí)曲線。可以看出本文所述算法具有更快的收斂速度，更快地回到穩(wěn)態(tài)，說明此算法具有更好的魯棒性，并且計(jì)算量更小。