1 引言

非線性系統(tǒng)在現(xiàn)實世界中普遍存在，可以說絕大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的，例如衛(wèi)星的定位與姿態(tài)控制系統(tǒng)、機器人控制系統(tǒng)、精密數(shù)控機床控制系統(tǒng)等等，這些都不可能采用線性模型，因此研究非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題有重要的理論及應用價值。因為對非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制，根據(jù)極大值原理會導致求解一個非線性的兩點邊界問題。一般來說，該類問題的解析解往往是不存在的，所以目前對該課題的研究主要集中在其近似解的求解方面，比如Galerkin逐次逼近法，求解非線性HJB方程的級數(shù)展開法，求解狀態(tài)依賴的Riccati方程(Stata-DependentRiccatiEquation,SDRE)迭代解法，準線性化方法、梯度法等迭代方法，基于向量微分方程迭代的逐次逼近方法等等。近年來隨著以微分幾何為工具的精確線性化方法的發(fā)展，對部分非線性系統(tǒng)可以通過適當?shù)姆蔷€性狀態(tài)變換和反饋變換，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的偽線性化，從而應用成熟的線性系統(tǒng)理論和方法。

本文針對非線性單連接機器人系統(tǒng)給出一種設計精確反饋線性化最優(yōu)控制器的方法。首先，給出非線性單連接機器人的系統(tǒng)模型，并對最優(yōu)控制問題進行描述;其次，通過微分同胚坐標變換，將非線性單連接機器人系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)變?yōu)閭尉€性系統(tǒng)模型;再次，在此基礎上給出了在關系度r等于系統(tǒng)階數(shù)n的情況下基于二次型性能指標的最優(yōu)控制器的設計方法;最后，通過求解Riccati方程得到系統(tǒng)最優(yōu)控制率。

2 問題描述

考慮如下非線性系統(tǒng)的動態(tài)方程：

2.1 相關的微分幾何概念

為了完整的說明狀態(tài)反饋精確線性化的設計原理，首先給出在推導中使用的一些相關的微分幾何概念，包括關系度r和Lie導數(shù)的概念。