一、引言
　　DFT(離散傅里葉變換)作為將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域的基本運(yùn)算，在各種數(shù)字信號(hào)處理中起著核心作用，其快速算法FFT(快速傅里葉變換)在無線通信、語音識(shí)別、圖像處理和頻譜分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。用大規(guī)模集成電路FPGA(現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列)來實(shí)現(xiàn)FFT算法時(shí)，需要重點(diǎn)考慮的不再是算法運(yùn)算量，而是算法的復(fù)雜性、規(guī)整性和模塊化，因?yàn)樗惴ǖ暮?jiǎn)單性和規(guī)整性將更適合大規(guī)模集成，更方便于版圖設(shè)計(jì)，而算法的模塊化更有利于FFT處理器的靈活擴(kuò)展。組合數(shù)FFT算法和CORDIC(坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算機(jī))算法結(jié)合起來，在計(jì)算長點(diǎn)數(shù)、可擴(kuò)展FFT時(shí)具有較大的優(yōu)越性^{［1，2］}。而面向高速、大容量數(shù)據(jù)流的FFT的實(shí)時(shí)處理，可以通過VLSI(超大規(guī)模集成電路)器件的并行處理或多級(jí)流水線處理等來達(dá)到。特別是多級(jí)流水線處理的FFT結(jié)構(gòu)使得基于FPGA器件的FFT處理器完成不同點(diǎn)數(shù)的FFT計(jì)算時(shí)可以通過增減模塊級(jí)數(shù)很容易地實(shí)現(xiàn)。

二、組合數(shù)N=r₁r₂點(diǎn)混合基FFT原理
　　計(jì)算N點(diǎn)DFT：
　　
　　式中k=0，1，…，N-1。
　　若N=r₁r₂的組合數(shù)，可將n(n＜N)表示為
　　
　　式(2)的意義在于，計(jì)算組合數(shù)N=r1r2點(diǎn)DFT，等價(jià)于先求出r?2組r?1點(diǎn)的DFT，其結(jié)果經(jīng)過對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)因子的相位旋轉(zhuǎn)后，再計(jì)算r1組r2點(diǎn)的DFT。實(shí)際應(yīng)用中，DFT往往用它的快速算法FFT實(shí)現(xiàn)，因而式(2)中的r1點(diǎn)DFT和r2點(diǎn)DFT都用r1點(diǎn)FFT和r2點(diǎn)FFT實(shí)現(xiàn)。

三、可擴(kuò)展FFT處理器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)
　　根據(jù)式(2)的FFT算法原理設(shè)計(jì)FFT處理器的可擴(kuò)展結(jié)構(gòu)如圖1所示。

　　采用流水線模塊化級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)，把FFT處理器劃分成短點(diǎn)數(shù)FFT、級(jí)間混序RAM和相位旋轉(zhuǎn)等功能模塊，設(shè)計(jì)的各功能模塊可以重復(fù)利用，通過復(fù)用或增減各功能模塊可以靈活改變FFT處理器的計(jì)算規(guī)模，而且不增加設(shè)計(jì)量。在圖1結(jié)構(gòu)中，當(dāng)L_i＝1時(shí)，就演變成了基2 FFT；當(dāng)L_i＝2時(shí)，就演變成了基4 FFT；同理，當(dāng)L_i≠L_j時(shí)，就演變成了高組合數(shù)的混合基FFT。

1.短點(diǎn)數(shù)FFT陣列結(jié)構(gòu)
　
－Tukey算法結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)時(shí)，有大量的復(fù)數(shù)乘法實(shí)際上轉(zhuǎn)化為加減運(yùn)算，所以用陣列結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)不但具有速度快的優(yōu)點(diǎn)，而且所用器件資源也減少很多，通過對(duì)陣列結(jié)構(gòu)短點(diǎn)數(shù)FFT進(jìn)行時(shí)分復(fù)用，可以提高運(yùn)算單元的使用效率。

2.相位旋轉(zhuǎn)運(yùn)算單元
　　實(shí)現(xiàn)短點(diǎn)數(shù)FFT級(jí)間相位旋轉(zhuǎn)，采用ROM存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子與數(shù)據(jù)復(fù)乘的傳統(tǒng)方法，不僅涉及乘法運(yùn)算，而且會(huì)消耗大量存儲(chǔ)器資源。

　　利用CORDIC算法實(shí)現(xiàn)組合數(shù)FFT級(jí)間數(shù)據(jù)的相位旋轉(zhuǎn)，把乘法轉(zhuǎn)化成加減法運(yùn)算，適合FPGA的大規(guī)模集成?？梢栽O(shè)計(jì)出統(tǒng)一結(jié)構(gòu)的CORDIC處理器模塊，重復(fù)利用于不同級(jí)間實(shí)現(xiàn)相位旋轉(zhuǎn)，而且其控制邏輯非常簡(jiǎn)單。

　　(1)CORDIC算法原理
　　復(fù)數(shù)P=x+jy旋轉(zhuǎn)角度θ得到Q的表達(dá)式：
　　
　　如果旋轉(zhuǎn)角度θ可以分解成n個(gè)小角度φ_i之和，即：
　　
公式:
　　

　　(2)CORDIC處理器結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)
　　本文提出了一種流水線CORDIC處理器結(jié)構(gòu)的解決方案。實(shí)現(xiàn)式子(4)的迭代運(yùn)算時(shí)采用補(bǔ)碼移位和補(bǔ)碼加減運(yùn)算，可以減少大量求補(bǔ)運(yùn)算，其迭代結(jié)構(gòu)如圖2所示。

??

　　
前者在于左移補(bǔ)零的位數(shù)的不同，這樣，只需要改變n₀k₀的放大倍數(shù)(改變左移低位補(bǔ)零的位數(shù))，就可以把同一方向向量功能模塊級(jí)聯(lián)到圖1 FFT處理器的不同級(jí)間來計(jì)算CORDIC處理器的MSB_i，這就大大地減小了重復(fù)設(shè)計(jì)，其迭代結(jié)構(gòu)如圖3所示。

3.RAM結(jié)構(gòu)及其級(jí)間數(shù)據(jù)混序用流水線讀/寫RAM地址發(fā)生器的設(shè)計(jì)
　　設(shè)計(jì)的RAM，每個(gè)存儲(chǔ)單元為32 bit，高16位為復(fù)數(shù)的實(shí)部，低16位為復(fù)數(shù)的虛部。輸入輸出數(shù)據(jù)接口用RAM設(shè)計(jì)為乒乓結(jié)構(gòu)，用兩塊相同的RAM交替讀出或交替寫入數(shù)據(jù)，這樣就放寬了對(duì)I/O操作速度的要求，使得外圍電路可以不必工作于FPGA系統(tǒng)時(shí)鐘。

　　級(jí)與級(jí)之間數(shù)據(jù)混序用RAM設(shè)計(jì)為讀/寫RAM，對(duì)RAM同一存儲(chǔ)單元用兩個(gè)時(shí)鐘完成一次讀/寫操作，即用流水線讀/寫同一塊RAM來實(shí)現(xiàn)級(jí)與級(jí)之間的數(shù)據(jù)混序。此結(jié)構(gòu)取代了用兩塊RAM完成數(shù)據(jù)混序的乒乓結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)方法，不涉及存儲(chǔ)器之間的讀寫切換，控制邏輯非常簡(jiǎn)單，而且消耗的存儲(chǔ)器資源節(jié)省一半，這是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)可靈活擴(kuò)展的高速FFT處理器的關(guān)鍵和難點(diǎn)?？梢酝ㄟ^理論推導(dǎo)，求得第i級(jí)FFT與第i-1級(jí)FFT級(jí)間混序用RAM的奇次讀/寫地址為
　　
　　的基礎(chǔ)上向左循環(huán)移位，位長為L_i-L_i-1位；同時(shí)，后者又表示在前者的基礎(chǔ)上向左循環(huán)移位，位長為L_i-L_i-1位，從而形成地址的循環(huán)移位規(guī)律。把L_i-1=L_i和L_i-1L_i兩種情況統(tǒng)一起來，即L_i-1=L_i時(shí)，L_i-L_i-1=0，不用循環(huán)移位，只需要計(jì)數(shù)器的高L_i-1位和低L_i-1位進(jìn)行交替。利用此地址發(fā)生規(guī)律，可以設(shè)計(jì)基于圖1結(jié)構(gòu)的基2、基4等任意基x FFT以及混合基FFT級(jí)間數(shù)據(jù)混序用流水線讀/寫RAM地址發(fā)生器。

4.842點(diǎn)組合數(shù)FFT處理器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及其分析
　　我們利用FPGA實(shí)現(xiàn)的各功能模塊按圖1實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)組裝了842點(diǎn)組合數(shù)FFT處理器，通過仿真驗(yàn)證了其設(shè)計(jì)的正確性后，又在FPGA實(shí)驗(yàn)板上對(duì)它進(jìn)行了硬件驗(yàn)證，其實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái)如圖4所示。

　　硬件驗(yàn)證時(shí)采取的實(shí)驗(yàn)方法是，用相同的抽樣頻率f_s等間隔地抽取不同頻率單頻正弦信號(hào)相同點(diǎn)數(shù)64點(diǎn)，即固定FFT的頻率分辨率f_r，利用設(shè)計(jì)的64點(diǎn)FFT處理器計(jì)算其幅度譜，觀察其幅度譜中直流分量譜線和諧波分量譜線間隔大小的變化，把實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)照，以確認(rèn)FFT處理器工作的正常與否。

　　系統(tǒng)時(shí)鐘工作在 40.861 MHz 時(shí)，抽樣頻率為 40.861/2=20.4305 MHz，抽樣周期為1/20.4305 MHz=48.9 ns，抽取64個(gè)點(diǎn)的時(shí)間是48.964＝3.13μs。因?yàn)槊總€(gè)采樣數(shù)據(jù)間隔時(shí)間是48.9μs，所以用設(shè)計(jì)的流水線方式工作的64點(diǎn)FFT處理器計(jì)算其幅度譜的譜線間隔也為48.9 ns。當(dāng)輸入單頻正弦信號(hào)的頻率約為638.454 kHz時(shí)，其周期為1/638.454 kHz＝1.567μs。用20.4305 MHz頻率抽樣，3.13μs時(shí)間內(nèi)剛好在正弦信號(hào)的2個(gè)周期內(nèi)抽取64點(diǎn)，輸入單頻正弦信號(hào)的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第3根譜線，其理論計(jì)算結(jié)果波形如圖5所示，實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果波形及其的局部放大波形如圖6和圖7所示。

　　從示波器上可以看出，橫坐標(biāo)單元格間隔為1μs，F(xiàn)FT變換周期間隔約為3格，即約為3μs，抽取了信號(hào)波形的2個(gè)周期，64點(diǎn)FFT計(jì)算時(shí)間也約為3μs。

　　輸入單頻正弦信號(hào)的頻率是頻率分辨率319.227 kHz的2倍，直流分量為幅度譜的第1根譜線，一次諧波分量為幅度譜的第2根譜線。由于幅度譜的譜線間隔為48.9 ns，也就是說，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns。從示波器上可以看出，橫坐標(biāo)單元格間隔為100 ns，直流分量和一次諧波分量間隔約為100 ns，和理論分析結(jié)果一致。

四、結(jié)論
　　本文以高組合數(shù)混合基DFT算法為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)并用FPGA實(shí)現(xiàn)了變換點(diǎn)數(shù)可靈活擴(kuò)展的流水線FFT處理器。輸入/輸出數(shù)據(jù)速率為20 MHz時(shí)，讀/寫RAM工作在40 MHz時(shí)鐘，計(jì)算出1 024點(diǎn)FFT的運(yùn)算時(shí)間約為52μs。本設(shè)計(jì)采用模塊化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，便于系統(tǒng)調(diào)試和實(shí)現(xiàn)，而且各設(shè)計(jì)模塊可以重復(fù)利用，避免重復(fù)相同的設(shè)計(jì)，從而縮短芯片設(shè)計(jì)開發(fā)時(shí)間，更易于FFT處理器的結(jié)構(gòu)擴(kuò)展。整個(gè)FFT設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)新穎，實(shí)現(xiàn)容易，具有一定實(shí)用價(jià)值。

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