李亞琦，秦?斌，王?欣?(湖南工業(yè)大學(xué)?電氣與信息工程學(xué)院，湖南?株洲?412008)

　　摘?要：研究了磁懸浮小球系統(tǒng)的控制問題，為了解決傳統(tǒng)PID控制方法在磁懸浮小球控制過程中調(diào)節(jié)效果不理想，魯棒性較差，易受外界擾動而失去穩(wěn)定的問題，采用了一種基于魯棒控制的方法來進(jìn)行系統(tǒng)的控制，魯棒控制算法能解決磁懸浮系統(tǒng)在外界干擾的情況下使系統(tǒng)保持預(yù)期的性能要求。將傳統(tǒng)PID控制與現(xiàn)代H _∞ 魯棒控制進(jìn)行仿真比較，通過仿真結(jié)果表明利用魯棒H ∞ 控制系統(tǒng)能夠提高磁懸浮系統(tǒng)的響應(yīng)速度，降低系統(tǒng)超調(diào)量，較少外界干擾對系統(tǒng)的影響，更好地改善了磁懸浮系統(tǒng)的動態(tài)性能。

　　關(guān)鍵詞：魯棒H _∞ 控制器設(shè)計；磁懸浮小球； PID；動態(tài)性能

　　*文章部分由國家自然科學(xué)基金（61673166）和湖南省自然科學(xué)基金（2017JJ4022和2018JJ4070）資助。

　　0 引言

　　磁懸浮技術(shù)是一種先進(jìn)的技術(shù)，現(xiàn)如今磁懸浮技術(shù)在迅猛的發(fā)展。近幾年來，磁懸浮列車在我國交通運輸中占據(jù)了重要地位，很多種磁懸浮列車模型被提出^[1] 。與其他技術(shù)相比，磁懸浮技術(shù)量具有損耗低，成本低的特點，發(fā)展這項技術(shù)符合我國的可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略^[2] 。磁懸浮系統(tǒng)是一種典型的非線性，開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)。磁懸浮控制算法的研究已經(jīng)引起了技術(shù)界的關(guān)注。為了更好地研究磁懸浮系統(tǒng)，通過實驗室磁懸浮小球裝置來進(jìn)行研究。對于磁懸浮小球控制算法，傳統(tǒng)的有PID控制^[3] 、串級控制 ^[5] ，這些控制算法不能很好地滿足系統(tǒng)的動態(tài)性能的需求。而現(xiàn)代控制算法中，魯棒控制算法 ^[4] 在一定程度上能夠很好地滿足系統(tǒng)的需求。

　　1 磁懸浮小球的工作原理及數(shù)學(xué)模型的建立

　　1.1 磁懸浮小球的工作原理

　　磁懸浮系統(tǒng)的組成主要包括五大部分：電磁鐵、位置傳感器、功率放大器、控制器以及被懸浮對象。系統(tǒng)組成部分如圖1所示：

　　磁懸浮系統(tǒng)主要是利用的電磁鐵來實現(xiàn)被懸浮對象在平衡位置的懸浮，位移傳感器主要是獲得鋼球的位置信號，該信號作為控制器的輸入信號經(jīng)過控制算法計算出相應(yīng)的輸出控制信號，控制器輸出的控制信號經(jīng)過功率放大器轉(zhuǎn)變成控制電流，從而使鋼球在電磁場中獲得磁力來保證小球處于平衡狀態(tài)。

　　1.2 磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

　　磁懸浮系統(tǒng) ^[9] 中的電磁力主要是通過電磁鐵采用電流勵磁方式，再配合磁懸浮小球的導(dǎo)磁特性，在空間構(gòu)成磁力線回路而產(chǎn)生的。

　　磁懸浮系統(tǒng)的電磁鐵磁路如圖2所示。

　　分析磁路，列出物理表達(dá)式：

　　其中

　　根據(jù)安培環(huán)路定理可得：

　　其中，N為線圈匝數(shù)； I 為線圈電流；X為氣隙間距；l _fe 為鐵芯回路的平均長度：S(A)為鐵芯的截面積

　　根據(jù)式子(1)~(3)可以得到

　　根據(jù)磁場能量求出電磁力：

　　將非線性系統(tǒng)線性化，可以得到被懸浮對象的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型：

　　2 磁懸浮系統(tǒng)的魯棒H ∞ 控制器的設(shè)計

　　2.1 設(shè)計原理

　　魯棒控制算法 ^[7-8,15] 是一種現(xiàn)代控制算法，是利用這種算法設(shè)計的控制器能夠使系統(tǒng)在外界干擾的情況下還能保持穩(wěn)定性。在20世紀(jì)80年代初，Zames最先用語言描述了其的基本概念 ^[5] ，自此 H _∞ 控制器得到了迅速的發(fā)展。下文主要利用魯棒 H _∞ 控制方法來進(jìn)行磁懸浮系統(tǒng)控制器的設(shè)計。

　　本文進(jìn)行 H _∞ 控制器設(shè)計的時候，主要通過選擇合理的加權(quán)函數(shù)來進(jìn)行，選擇的加權(quán)函數(shù)需要滿足系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)以及穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)。 H _∞ 加權(quán)靈敏度的選擇問題可用圖3表示：

　　其中，r為參考輸入；e為誤差，u為控制輸入， y為輸出，y= [y_a y_b y_c ]^T，其中 W ₁、W₂、W₃ 是3個要設(shè)計的加權(quán)靈敏度函數(shù)。

　　定義3個傳遞函數(shù)：

　　其中， L=GF，F(xiàn)為魯棒控制器；G為磁懸浮系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；S為靈敏度。靈敏度越小意味著磁懸浮系統(tǒng)的誤差e越??；令T=I-S，定義為補(bǔ)靈敏度，T的大小直接影響著系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在進(jìn)行控制器設(shè)計的時候，主要是權(quán)衡T與S。

　　2.2具體的設(shè)計步驟

　　在進(jìn)行磁懸浮控制系統(tǒng)設(shè)計時，設(shè)計的核心是保證系統(tǒng)在增加控制器之后不僅能滿足系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，還能使函數(shù)P的無窮范數(shù)最小。

　　根據(jù)加權(quán)靈敏度函數(shù)的框圖(圖3)，得到 H ∞ 加權(quán)混合靈敏度 ^[11] 問題的標(biāo)準(zhǔn)框架為：

　　其中u=Fe。

　　系統(tǒng)的增廣對象模型為

　　令：

　　進(jìn)行加權(quán)函數(shù)選擇時，需要滿足以下要求：

　　1）W ₁ 函數(shù)的選擇要求

　　也就是 W ₁ 要有低通濾波特性，根據(jù)磁懸浮實際的系統(tǒng)分析，系統(tǒng)干擾一般發(fā)生在低頻段，為了更好地保證系統(tǒng)魯棒性，要使S的增益加大，同時還要保證 W ₁ 的截止頻率 ω ₁ 小于 W ₃ 的截止頻率 ω ₃ 。

　　2）W ₂ 函數(shù)的選擇

　　在進(jìn)行 W ₂ 函數(shù)選擇的時候，主要是根據(jù)控制信號（加）的大小來進(jìn)行選擇的。

　　3）W ₃ 函數(shù)的選擇

　　W₃應(yīng)該具有高通特性，也就是上升的速率要比較大，以此來實現(xiàn)系統(tǒng)的高頻抗干擾的特性。

　　在進(jìn)行加權(quán)函數(shù)設(shè)計的時候，一般滿足以下的形式：

　　根據(jù)上述要求，選擇加權(quán)函數(shù)為：

　　根據(jù)上述推導(dǎo)，通過MATLAB命令得到系統(tǒng)魯棒控制器的傳遞函數(shù)為：

　　魯棒控制器的脈沖傳遞函數(shù)為：（其中采樣時間T為0.0013s）

　　3 系統(tǒng)仿真

　　3.1 系統(tǒng)參數(shù)確定時的仿真

　　通過MATLAB/Simulink仿真模塊對系統(tǒng)進(jìn)行模型的建立與仿真。為了驗證魯棒控制器的優(yōu)越性，將其與傳統(tǒng)的PID控制 [12-13] 進(jìn)行對比，建立的模型如圖4所示：

　　注釋：在進(jìn)行PID參數(shù)選擇的時候，采用臨界比例度算法，首先令K _i = 0，K _d = 0，令K _P =1，不斷調(diào)節(jié)K _p，當(dāng)K_u(k_p ) = ?0.586的時候，系統(tǒng)出現(xiàn)臨界等幅震蕩，臨界震蕩的周期 T = 0.1s 。再經(jīng)過微調(diào)得出PID控制器的3個參數(shù)。

　　仿真結(jié)果如圖5所示：

　　通過上PID以及魯棒控制器仿真結(jié)果的分析與計算，得到如表1所示的指標(biāo)。

　　從表1可知：與傳統(tǒng)的控制器相比，應(yīng)用魯棒控制器調(diào)節(jié)時間指標(biāo)與超調(diào)量指標(biāo)都優(yōu)于PID控制器。

　　為了更好地驗證魯棒控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，改變系統(tǒng)參數(shù)磁懸浮小球的質(zhì)量來進(jìn)行系統(tǒng)的仿真與分析：

　　將磁懸浮小球的質(zhì)量由46g換為40g,則系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)?

　　不改變PID參數(shù)以及魯棒控制器參數(shù)，得到仿真波形如圖6所示。

　　分析仿真圖形,得到PID與魯棒控制器的動態(tài)如表2所示。

　　從表2分析：當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化的時候，魯棒控制器的動態(tài)性能優(yōu)于PID控制器的動態(tài)性能。

　　3.3系統(tǒng)外加干擾時

　　給系統(tǒng)在3s的時候外加一個階躍干擾信號，PID控制器與魯棒控制器的仿真波形如圖7所示。

　　根據(jù)圖7分析，當(dāng)外加干擾的時候，魯棒控制器相對于PID控制器來講，能使系統(tǒng)在很短時間內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)定。

　　4 結(jié)論

　　磁懸浮系統(tǒng)是一種強(qiáng)非線性，建模困難的一種系統(tǒng)，并且系統(tǒng)的運行容易受到外界環(huán)境的干擾。本文主要就這些問題進(jìn)行了分析，對磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行建模，并且設(shè)計了一種 H ∞ 魯棒控制系統(tǒng)。實驗分析表明，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)改變時，魯棒控制器比PID控制器動態(tài)性能更好；當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾時，魯棒控制器系統(tǒng)也能夠迅速地回到穩(wěn)定值。

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　　作者簡介：

　　李亞琦（1993—），女，碩士，研究方向：人工智能。

　　秦斌（1963—），男，博士，教授，研究方向：智能控制，過程控制。

　　王欣（1971—），女，博士，教授，復(fù)雜工業(yè)過程建模與優(yōu)化控制。

　　本文來源于科技期刊《電子產(chǎn)品世界》2019年第10期第37頁，歡迎您寫論文時引用，并注明出處。