*基金項(xiàng)目：2020年產(chǎn)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)公共服務(wù)平臺(tái)——工業(yè)機(jī)器人核心關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證與支撐保障服務(wù)平臺(tái)建設(shè)項(xiàng)目（2020-0097-1-1）

作者簡(jiǎn)介：梁學(xué)修（1987—），男，山東青島人，博士，研究方向?yàn)橹悄軝z測(cè)與控制。

0   引言

非線性摩擦是影響工業(yè)機(jī)器人低速運(yùn)動(dòng)性能的主要因素之一，機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦力會(huì)使機(jī)器人產(chǎn)生跟蹤誤差，帶來(lái)極限環(huán)振蕩、滯滑運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題^[1]。為此，對(duì)機(jī)械臂的非線性摩擦建模與補(bǔ)償研究成為工業(yè)機(jī)器人控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)^[2-6]。為了解決關(guān)節(jié)摩擦力的問(wèn)題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)總結(jié)出了各種摩擦力模型。建立機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦模型是實(shí)現(xiàn)摩擦力實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)暮诵牟襟E。摩擦的時(shí)變、強(qiáng)非線性等性質(zhì)，使得精確建立摩擦力的模型幾乎無(wú)法實(shí)現(xiàn)。工程中使用的靜態(tài)摩擦模型和動(dòng)態(tài)摩擦模型^[7]也僅僅是摩擦力模型的一種近似模型。借助這種近似的摩擦力模型，只能在一定程度上消弱摩擦力的影響。在靜態(tài)摩擦模型中，應(yīng)用最廣泛的是圖1 中的Stribeck 指數(shù)模型^[8]，該模型對(duì)真實(shí)摩擦力的擬合精度達(dá)80%。本文研究了在極低速度下如何實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制的問(wèn)題，通過(guò)摩擦建模，引入了考慮瞬態(tài)摩擦的狀態(tài)摩擦模型，通過(guò)基于狀態(tài)變量摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程，完成了基于狀態(tài)摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定性分析。

圖1 Stribeck模型

1   摩擦力模型

剛體材料之間通過(guò)潤(rùn)滑劑潤(rùn)滑時(shí)的特征摩擦- 速度曲線就是圖1 中所示Stribeck 曲線。通常由靜摩擦fs 、庫(kù)倫摩擦fc 和黏性摩擦構(gòu)成。在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向沒(méi)有逆轉(zhuǎn)的條件下，接觸面穩(wěn)定滑動(dòng)的摩擦力是速度的連續(xù)函數(shù)。這條曲線的斜率取決于材料的成分和它們之間的潤(rùn)滑狀況。對(duì)于圓圈標(biāo)記出的低速范圍，曲線存在一個(gè)陡峭的負(fù)斜率段，這一段正是本文將要討論的低速區(qū)摩擦- 速度曲線。

通常用于模型補(bǔ)償?shù)哪Σ? 速度曲線，包括Stribeck曲線，代表穩(wěn)定滑動(dòng)的摩擦。摩擦力模型只依賴于當(dāng)前的速度值。然而，摩擦實(shí)驗(yàn)^[9]表明，摩擦也取決于過(guò)去的運(yùn)動(dòng)歷史。

Sampson[10] 等人最早注意到摩擦力的這種現(xiàn)象。考慮過(guò)去的運(yùn)動(dòng)歷史，摩擦力模型f(t) 的函數(shù)關(guān)系可以表示為：

其中， V 為接觸面相對(duì)滑動(dòng)速度， σ n 為法向壓應(yīng)力。也就是說(shuō)摩擦力不僅僅和當(dāng)前時(shí)刻的速度V t ( ) 和法向壓應(yīng)力σ n(t)有關(guān)，還和過(guò)去時(shí)刻的速度V (τ )和法向壓應(yīng)力σ τ n( )有關(guān)。

本文考慮的狀態(tài)變量摩擦模型具有以下3 個(gè)特征（假設(shè)正應(yīng)力恒定）：

●   依賴于速度的摩擦力穩(wěn)定狀態(tài)；

●   依賴于速度的摩擦力瞬時(shí)狀態(tài)；

●   特征滑移距離。

依賴于速度的摩擦力穩(wěn)定狀態(tài)就是摩擦力- 速度曲線。依賴于速度的摩擦力瞬時(shí)狀態(tài)就是速度的瞬時(shí)變化導(dǎo)致摩擦力在同一方向上的瞬時(shí)變化。第3 個(gè)性質(zhì)表示的是當(dāng)速度突然變化時(shí)，摩擦力指數(shù)衰減到穩(wěn)態(tài)的摩擦力- 速度曲線需要滑動(dòng)的距離。對(duì)于法向應(yīng)力為常數(shù)的情況，狀態(tài)變量摩擦模型具有下面的摩擦力模型：

等式中θ_i表示狀態(tài)變量，這種形式表明，速度的突然變化不會(huì)引起狀態(tài)的突然變化，但會(huì)影響它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。穩(wěn)定狀態(tài)的摩擦力- 速度曲線可以通過(guò)設(shè)置g_i為零，而后將狀態(tài)變量θ_i替換到函數(shù)f 中得到一個(gè)非常簡(jiǎn)單的包含單個(gè)狀態(tài)變量的摩擦模型：

L特征滑移距離( f0 ,V0) 對(duì)應(yīng)于穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線上任何合適的初始點(diǎn)。在這種情況下，穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線為：

穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線中常用速度指數(shù)項(xiàng)表示從靜摩擦到動(dòng)摩擦的過(guò)渡。一種包括庫(kù)侖摩擦和黏性摩擦的模型為：

其中c0,c1,c2,c4>0。狀態(tài)變量摩擦模型是專門(mén)為模擬摩擦的低速效應(yīng)而設(shè)計(jì)的，而穩(wěn)態(tài)摩擦模型是用來(lái)制定適應(yīng)整個(gè)運(yùn)行速度范圍的模型。

2   考慮摩擦的動(dòng)力學(xué)模型

圖2 關(guān)節(jié)模型

圖2 給出了一個(gè)具有代表性的機(jī)器人關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型， xm 和xl 分別代表電機(jī)和關(guān)節(jié)的位置， kp 代表關(guān)節(jié)剛度或是控制增益，kv 代表附加阻尼，m是連桿質(zhì)量，f 則代表關(guān)節(jié)摩擦模型。位置控制的動(dòng)力學(xué)方程：

不考慮擾動(dòng)d(t)的情況下，由于關(guān)節(jié)摩擦f的原因，機(jī)器人在穩(wěn)定運(yùn)行狀態(tài)下會(huì)產(chǎn)生恒定的偏置在考慮擾動(dòng)d(t)的情況下，連桿的速度存在微小的偏置最終的擾動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程為：

3   穩(wěn)定性分析

假設(shè)法相正應(yīng)力恒定，考慮依賴于當(dāng)前速度和滑動(dòng)歷史的摩擦定律：

假設(shè)摩擦力f t ( ) 可以被分離為1 個(gè)瞬態(tài)分量和1 個(gè)穩(wěn)態(tài)分量。后者趨向于在特定速度下滑移足夠距離時(shí)的穩(wěn)態(tài)值。在本文討論的低速區(qū)，穩(wěn)態(tài)摩擦- 速度曲線的斜率是負(fù)值，也即

依據(jù)Rice and Ruina^[11]，用脈沖響應(yīng)表示f(t) 在平衡點(diǎn)附近的線性化行為，摩擦力模型可以表示為：

認(rèn)識(shí)到速度的直接影響是一個(gè)脈沖函數(shù)，可以把它從卷積積分中提取出來(lái)，

結(jié)合這個(gè)方程，摩擦力關(guān)于速度的瞬態(tài)變化率為：

摩擦力關(guān)于速度的穩(wěn)態(tài)變化率為：

實(shí)驗(yàn)表明^[11]，摩擦與速度的瞬態(tài)關(guān)系為正，也即fv > 0 。對(duì)于負(fù)斜率的穩(wěn)態(tài)摩擦曲線，

為保證摩擦力是單調(diào)遞減的，g(t) 需要滿足條件：

將式（13）代入式（9），得到關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)方程為：

做拉普拉斯變換，得到：

3.1 考慮當(dāng)前速度摩擦力模型的穩(wěn)定性分析

考慮簡(jiǎn)單情況的摩擦律f=f(V(t))，即不考慮過(guò)去的運(yùn)動(dòng)對(duì)摩擦模型的影響，也即：

穩(wěn)定性是由X (s)的極點(diǎn)位置決定的，在這種簡(jiǎn)單的情況下考慮下面等式的取值：

由于m > 0，如果就會(huì)發(fā)生不穩(wěn)定性。如果摩擦系數(shù)fv 在V0 處斜率為負(fù)，需要附加阻尼kv 實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定， 可以選擇的最小值， 對(duì)于0 <V <Vmax ，以實(shí)現(xiàn)整個(gè)速度范圍內(nèi)的漸進(jìn)穩(wěn)定。在這個(gè)線性分析中，對(duì)kp 的唯一要求是kp > 0 。

例如，考慮下面的摩擦力形式：

在這種情況下：

如果fv < 0 ，則需要一個(gè)正的kv 來(lái)穩(wěn)定系統(tǒng)。令可得為了滿足漸進(jìn)穩(wěn)定的條件，附加阻尼系數(shù)需要滿足，其中：

3.2 狀態(tài)變量摩擦力模型的穩(wěn)定性分析

分析使式（19）穩(wěn)定需要的控制增益?？紤]下面等式的根：

下面考慮kp 的所有可能取值：

①當(dāng)kp →∞。由于G(∞) = 0，解的實(shí)部為：

由于fv 和kv都是正的，故而Re(s) < 0恒成立。因此，kp → ∞ 條件下，等式（25）始終能夠保持穩(wěn)定；

②當(dāng)kp = 0，考慮方程 ?？紤]到式（27），此方程對(duì)于小的s 是負(fù)的，對(duì)于大的s 是正的，故此時(shí)系統(tǒng)無(wú)法保持穩(wěn)定。

③考慮上述內(nèi)容，當(dāng)kp 從零到無(wú)窮，存在一個(gè)根或1 對(duì)根穿過(guò)虛軸。將s = 0 和s = ∞ 代入等式（25），因?yàn)閙 、fv 、kv 和kp 都是正的，可知方程無(wú)解。因此解如果存在，其只能是一對(duì)虛根±iω ，且和kp 的臨界值k_cr 有關(guān)：

將上述方程分解為實(shí)部和虛部，得到ω 和kcr 的方程：

使用我們的假設(shè)g(t)≥0，并得到

我們發(fā)現(xiàn)式（30）只有在滿足下面條件的時(shí)候才有解：

穩(wěn)定性結(jié)果總結(jié)如下：

對(duì)于考慮摩擦律f = f [V (t)]的動(dòng)力學(xué)模型，漸近穩(wěn)定的條件為：

對(duì)于考慮摩擦律 f = f [V (τ )]， 0 <τ < t 的動(dòng)力學(xué)模型，漸近穩(wěn)定的條件為：

這樣可以依據(jù)式（32），根據(jù)僅考慮當(dāng)前速度的摩擦力模型，選擇合適附加阻尼kv 來(lái)保證動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性?？梢砸罁?jù)式（33），根據(jù)同時(shí)考慮過(guò)去運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和當(dāng)前速度的狀態(tài)變量摩擦模型，選擇合適的k k v p 、來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而k k v p 、就是系統(tǒng)的控制參數(shù)。

4   結(jié)束語(yǔ)

實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的低速度運(yùn)動(dòng)能力對(duì)機(jī)器人和任何涉及精細(xì)定位或力控制任務(wù)的機(jī)器來(lái)說(shuō)都非常重要。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，高度非線性的摩擦力會(huì)產(chǎn)生一個(gè)最小的穩(wěn)定速度，低于此速度就會(huì)發(fā)生粘滑，嚴(yán)重限制機(jī)器人位置和力控制的精度。此外，滯滑摩擦力引起極限環(huán)是機(jī)械振動(dòng)的一個(gè)主要誘因。

本文研究了用狀態(tài)變量摩擦模型表示低速運(yùn)動(dòng)中的瞬態(tài)摩擦，并提出了基于狀態(tài)變量摩擦模型的動(dòng)力學(xué)方程的穩(wěn)定性證明，依據(jù)穩(wěn)定證明給出了控制參數(shù)設(shè)置的合理指導(dǎo)。

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2021年5月期）