說到這里，可能你對(duì)scaling function以及多解析度分析已經(jīng)比較理解了。但是，我們還沒有涉及到它們?cè)?a class="contentlabel" href="http://cafeforensic.com/news/listbylabel/label/小波變換">小波變換中的具體應(yīng)用，也就是還沒有回答剛才那個(gè)問題：憑空插了一個(gè)scaling function到小波basis組合中干嘛。也就是說，我們希望理解scaling function是怎么和小波函數(shù)結(jié)合的呢，多解析度能給小波變換帶來什么樣的好處呢。這其實(shí)就是是小波變換中的核心知識(shí)。理解了這個(gè)，后面的小波變換就是純數(shù)學(xué)計(jì)算了。

好，我們已經(jīng)知道，對(duì)于子空間V0，basis是scaling function：

對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)是：

然后子空間V1的basis集合是這倆哥們：

看出什么規(guī)律了么?多看幾次這三個(gè)圖，你會(huì)驚訝地發(fā)現(xiàn)，在V0中的scaling function和wavelet function的組合，其實(shí)就是V1中的basis!繼續(xù)這樣推導(dǎo)，V1本來的的basis是：

然后V1中對(duì)應(yīng)的wavelet function是

他們的組合，本質(zhì)上也就是V2的basis(參考圖2)。你繼續(xù)推導(dǎo)下去，會(huì)得到同樣的結(jié)論：在scale j的wavelet function，可以被用來將Vj的basis擴(kuò)展到V(j+1)中去!這是一個(gè)非常非常關(guān)鍵的性質(zhì)，因?yàn)檫@代表著，對(duì)任何一個(gè)子空間Vj，我們現(xiàn)在有兩種方法去得到它的orthonormal basis：

1. 一種就是它本來的basis

，對(duì)任意k。

2. 第二種就是它上一個(gè)子空間的basis

，對(duì)任意k，以及上一級(jí)子空間的wavelet function

，對(duì)任意k。

第二種選擇能給我們帶來額外的好處，那就是我們可以循環(huán)不斷地用上一級(jí)子空間的scaling function以及wavelet function的組合來作為當(dāng)前子空間的基。換句話說，如果針對(duì)V3這個(gè)子空間，它實(shí)際上就有四種不同的，但是等價(jià)的orthonormal basis：

1. 本級(jí)(V3)的scaling function basis set

2. 上一級(jí)(V2)的scaling function + wavelet function;

3 . 上上一級(jí)(V1)的scaling function + 上上一級(jí)(V1)的wavelet function + 上一級(jí)(V2)的wavelet function;

4. 上上上一級(jí)(V0)的scaling function + 上上上一級(jí)(V0)的wavelet function + 上上一級(jí)(V1)的wavelet function + 上一級(jí)(V2)的wavelet function

好，看看最后一種選取方式，有沒有感到眼熟?對(duì)了，它就是我們之前提到的“針對(duì)此信號(hào)space的哈爾小波basis組合”，參見圖1?，F(xiàn)在我們知道了，這個(gè)scaling function不是憑空插進(jìn)去的，而是通過不斷的嵌套迭代出來的：)

那為什么我們最后選定的是這種選取方式呢?實(shí)際上，剛才介紹的這個(gè)性質(zhì)已經(jīng)告訴我們，對(duì)于任何的scale j0，我們都可以給我們的signal space找到一組orthonormal basis，這個(gè)basis是通過組合scale j0上的scaling function以及所有在scale j，j>j0上的wavelets得到的。這樣，基于這個(gè)orthonormal basis，所有信號(hào)空間中的信號(hào)都可以寫成組成這個(gè)basis的functions的線性組合：

對(duì)應(yīng)的系數(shù)的計(jì)算和平常一樣：

這，就是最終的，也是最核心的，小波變換形式。不管是信號(hào)壓縮，濾波，還是別的方式處理，只要是用小波變換，都逃不出這個(gè)基礎(chǔ)流程：

1. 選取合適的wavelet function和scaling function，從已有的信號(hào)中，反算出系數(shù)c和d。

2. 對(duì)系數(shù)做對(duì)應(yīng)處理

3. 從處理后的系數(shù)中重新構(gòu)建信號(hào)。

這里的系數(shù)處理是區(qū)別你的應(yīng)用的重點(diǎn)。比如圖像或者視頻壓縮，就希望選取能將能量聚集到很小一部分系數(shù)中的小波，然后拋棄那些能量很小的小波系數(shù)，只保留少數(shù)的這些大頭系數(shù)，再反變換回去。這樣的話，圖像信號(hào)的能量并沒有怎么丟失，圖像體積卻大大減小了。

還有一個(gè)沒有解釋的問題是，為什么要強(qiáng)調(diào)尺度函數(shù)和小波函數(shù)組成一個(gè)orthonormal basis呢?計(jì)算方便是一方面，還有一個(gè)原因是，如果他們滿足這個(gè)性質(zhì)，就滿足瑞利能量定理，也就是說，信號(hào)的能量，可以完全用每個(gè)頻域里面的展開部分的能量，也就是他們的展開系數(shù)表示：

到這里，我們對(duì)小波變換的形式就講完了。雖然是用的最簡(jiǎn)單的哈爾小波為例子，但舉一反三即可。我們著重介紹了多解析度分析以及它給小波變換帶來的殺手锏：時(shí)域頻域同時(shí)定位。結(jié)束之前，再多說幾句小波變換的意義。我們拿剛才例子中V3子空間的第二種可選擇的orthonormal basis作為例子：

左邊這四個(gè)basis組成元素，也就是scaling functions，的系數(shù)，表征的是信號(hào)的local平均(想想它們和信號(hào)的內(nèi)積形式)，而右邊的這四個(gè)basis組成元素，也就是wavelet functions，的系數(shù)則表征了在local平均中丟失的信號(hào)細(xì)節(jié)。得益于此，多解析度分析能夠?qū)π盘?hào)在越來越寬的區(qū)域上取平均，等同于做低通濾波，而且，它還能保留因?yàn)槠骄鴵p失的信號(hào)細(xì)節(jié)，等同于做高通濾波!這樣，我們終于可以解釋了wavelet function和scaling function背后的物理意義了：wavelet function等同于對(duì)信號(hào)做高通濾波保留變化細(xì)節(jié)，而scaling function等同于對(duì)信號(hào)做低通濾波保留平滑的shape!

對(duì)小波變換的基礎(chǔ)知識(shí)，我們就講到這里。需要注意的是，這只是小波變換最基本最基本的知識(shí)，但也是最核心的知識(shí)。掌握了這些，代表你對(duì)小波變換的物理意義有了一定的了解。但對(duì)于小波變換本身的講解，一本書都不一定能將講透，還有很多的基礎(chǔ)知識(shí)我都沒有講，比如如何構(gòu)建自己的scaling function，選取合適的系數(shù)集h[k]，并由此構(gòu)建自己的wavelet functions。所以，如果有深入下去研究的同學(xué)，好好買一本書來看吧。而只是希望用小波變換來服務(wù)自己的應(yīng)用的同學(xué)，個(gè)人覺得這些知識(shí)已經(jīng)足夠讓你用來起步了。