RS糾錯編碼是目前最有效、應用最廣泛的差錯控制編碼之一，是一種糾錯能力很強的多進制BCH碼，也是一類典型的代數(shù)幾何碼。它是由里德(Reed)和索洛蒙(Solomon)應用MS多項式于1960年首先構(gòu)造出來的。

RS碼被廣泛用于差錯控制系統(tǒng)中，以提高數(shù)據(jù)的可靠性，而且可以用來構(gòu)造其他碼類，如級聯(lián)碼。在無線通信、衛(wèi)星通信、磁或光存儲以及網(wǎng)絡通信中RS碼也有較為廣泛的應用。RS碼不僅具有良好的隨機糾錯和突發(fā)糾錯能力，而且有低復雜度的編譯碼算法，因此被國際電信聯(lián)盟(ITU)推薦為光纖子系統(tǒng)的前向糾錯(FEC)碼。RS(225，223)碼被CCSDS選為常規(guī)分包遙測信道糾錯編碼和高級在軌系統(tǒng)前向和反向鏈路的糾錯編碼，是實現(xiàn)CCSDS標準低差錯率信道糾錯編碼的關(guān)鍵部件。只要每個碼字(255個符號)中出現(xiàn)的錯誤不超過16個符號，它就能將其糾正。

近年來，關(guān)于RS(255，223)碼譯碼器實現(xiàn)的算法得到了廣泛的關(guān)注，但是這些算法的實現(xiàn)速度都不太快，即便有速度稍高的，其占用硬件資源也較多，而一些占用硬件資源較少的算法速度卻很慢。本文采用基于ME算法的8倍并行設計方案，結(jié)合流水線技術(shù)，克服了上述算法的缺陷，利用盡可能少的硬件資源獲得了極高的譯碼速度。

1RS(255，223)碼及其譯碼原理

1.1RS(255，223)碼

因其碼元取自GF(q)，RS編解碼過程中的所有運算都是在GF(q)的有限域上面進行。RS(n，k)碼的編碼過程是將k個輸入信息碼字，用生成多項式產(chǎn)生(n，k)個冗余的糾錯信息碼字，與原碼字合成形成n個信息碼字進行傳輸。譯碼是在接收端，對接收的n個碼字信息進行糾錯處理，恢復k個信息碼字。對于1個長度為am-1符號的RS碼，每個碼字都可以看成是有限域GF(am)中的1個元素。最小碼距為d的碼字，其RS碼生成多項式具有如下形式：

其中ai是GF(am)中的1個元素。

對于RS(255，223)碼而言，q=256，a=2，碼字符號在GF(28)中。m=8，是每個RS符號的碼元數(shù);n=28-1，是每個RS碼字的符號數(shù);k=223，是RS碼中信息位的符號數(shù);t=16，是RS碼字內(nèi)符號的糾錯能力;d=33，是最小碼距。

1.2RS(255，223)碼譯碼原理

由于RS碼為分組碼，故其譯碼算法主要由伴隨式計算、關(guān)鍵方程求解和錢搜索和Forney算法3部分構(gòu)成，譯碼器結(jié)構(gòu)如圖1所示。

首先，根據(jù)接收碼字乘以校驗矩陣得到其伴隨多項式，對于RS(225，223)碼，其伴隨式求解式可以表示為：

求得伴隨式以后，則利用伴隨多項式求解關(guān)鍵方程：錯誤位置多項式σ(x)和錯誤特征多項式ω(x)，如下所示：

求解關(guān)鍵方程現(xiàn)可采用的算法主要有BM(Belekamp-Messey)算法和ME(ModifiedEuclidean)算法。之后便得到錯誤位置多項式σ(x)與錯誤特征多項式ω(x)。

此后，由錯誤位置多項式與錯誤特征多項式來求得錯誤位置與錯誤值。求解錯誤位置本設計采用窮舉算法DD錢搜索算法來完成。同時，使用Forney公式求得錯誤值。最后，用延時后的接收值減去錯誤值，得到最后的譯碼輸出。Forney公式可以表示為：

其中，ei代表發(fā)生在i位置上的錯誤值，σodd(x)代表錯誤位置多項式奇數(shù)次項之和。

2并行流水結(jié)構(gòu)方案

本設計采用8倍并行流水方案。將255個碼元8倍并行后，只需要32個周期便完成所有32個伴隨多項式系數(shù)的求解。然后將32個伴隨多項式系數(shù)順序輸出到下一級，在此基礎(chǔ)上采用流水線結(jié)構(gòu)，周期剛好滿足且不會浪費資源。本設計中所有乘法器都是采用GF(28)有限域乘法器。

2.1伴隨式計算

8倍并行伴隨多項式的求解算法，是在迭代算法的基礎(chǔ)上展開實現(xiàn)，其推導過程如下：

式(6)中，R255=0;i=1，2，…，2t-1，2t。其電路結(jié)構(gòu)如圖2所示。

2.2關(guān)鍵方程求解

本設計中關(guān)鍵方程的求解采用ME算法。BM算法具有反饋結(jié)構(gòu)，不適合使用流水結(jié)構(gòu)，而ME算法可采用流水結(jié)構(gòu)。其算法描述如下：

其中，S(x)為輸入的伴隨多項式。

ME算法為1種迭代算法，目的在于求i階余式Ri(x)，相應的多項式ri(x)與Li(x)滿足：

ri(x)A(x)+Li(x)S(x)=Ri(x)(8)

當i階余式Ri(x)的階數(shù)小于t時，迭代算法結(jié)束。算法結(jié)束時的Ri(x)即為錯誤特征多項式ω(x)，而Li(x)即為所求的錯誤位置多項式δ(x)。

ME算法在每一次迭代時進行的運算為：

具體推導請見參考文獻[8-9]。

單級迭代電路結(jié)構(gòu)如圖3所示。

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