0   引言

如今，隨著網(wǎng)絡(luò)信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，以及人們對(duì)力學(xué)、電學(xué)等理工學(xué)科研究的不斷深入，慣性導(dǎo)航技術(shù)也在隨之發(fā)生著日新月異的變化。在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中，控制技術(shù)起著至關(guān)重要的作用，目前平臺(tái)式慣導(dǎo)控制大多采用經(jīng)典頻域控制設(shè)計(jì)方法。隨著控制技術(shù)的發(fā)展，魯棒控制理論也得到了極大的發(fā)展，它對(duì)于控制對(duì)象存在不確定性和結(jié)構(gòu)攝動(dòng)有更好的控制效果。本文采用魯棒H_∞控制對(duì)平臺(tái)穩(wěn)定回路進(jìn)行控制，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)將平臺(tái)穩(wěn)定回路控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為H∞ 混合靈敏度問(wèn)題，運(yùn)用混合靈敏度優(yōu)化設(shè)計(jì)出了一個(gè)滿足性能要求的控制器，并通過(guò)特殊的雙線性變換方法，解決了平臺(tái)穩(wěn)定回路原系統(tǒng)對(duì)象模型有位于虛軸極點(diǎn)這一病態(tài)問(wèn)題。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證了控制器的可行性。

1   液浮陀螺平臺(tái)穩(wěn)定回路的原理

三軸慣性平臺(tái)具有三條伺服回路通道，其原理基本相同。當(dāng)某一干擾力矩M f 作用在平臺(tái)臺(tái)體框架軸上時(shí)，平臺(tái)將相對(duì)慣性空間產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，液浮陀螺敏感到此偏轉(zhuǎn)角度后，輸入相應(yīng)的調(diào)寬信號(hào)，經(jīng)過(guò)放大器放大后反饋到控制裝置，由控制裝置產(chǎn)生控制信號(hào)作用在穩(wěn)定電機(jī)上，穩(wěn)定電機(jī)產(chǎn)生相反方向的修正力矩，帶著平臺(tái)向著原來(lái)偏離的反方向運(yùn)動(dòng)，使平臺(tái)與慣性空間的夾角逐漸減小到0，最終使平臺(tái)相對(duì)于慣性空間保持穩(wěn)定。

2   平臺(tái)穩(wěn)定回路建模

2.1 穩(wěn)定回路的組成

一般穩(wěn)定回路由慣性平臺(tái)、三環(huán)框架、安裝在平臺(tái)上的陀螺儀、力矩電機(jī)、坐標(biāo)變換器和控制電路組成。具體組成如圖1 所示，其中M_d 為力矩電機(jī)扭轉(zhuǎn)力矩，M_f為穩(wěn)定回路外部干擾力矩。圖1 由橫滾穩(wěn)定回路和俯仰穩(wěn)定回路組成，方位穩(wěn)定回路沒(méi)有耦合放大器和伺服分解器兩個(gè)環(huán)節(jié)。

圖1 平臺(tái)穩(wěn)定回路組成

2.2 穩(wěn)定回路的數(shù)學(xué)模型

圖2 為方位穩(wěn)定回路控制框圖，其中，θ ′ 為穩(wěn)定回路輸入角度，θ 為陀螺輸出角，k1 為橋式功率放大系數(shù)，k2 為傳感器、前置放大、相敏解調(diào)和低通濾波放大系數(shù)、τ g 為陀螺時(shí)間常數(shù)、kg 為陀螺傳遞系數(shù)、τ e 為電機(jī)時(shí)間常數(shù)， J 為平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。不考慮校正裝置，穩(wěn)定回路的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

3   常規(guī)PID控制

PID 控制器是控制系統(tǒng)中最常使用的一種控制器，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、調(diào)整方便、穩(wěn)定性好及工作可靠等優(yōu)點(diǎn)。PID 控制主要依靠被控系統(tǒng)的輸出值與目標(biāo)值之間的偏差和實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制。平臺(tái)穩(wěn)定回路通常采取雙閉環(huán)控制，即電流環(huán)PI 控制、位置環(huán)PID 控制，控制框圖如圖2 所示。

圖2 方位穩(wěn)定回路雙閉環(huán)控制

3.1 電流環(huán)PI控制

電流環(huán)反饋能夠自動(dòng)調(diào)節(jié)力矩電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流，大大減小載體角運(yùn)動(dòng)和干擾力矩引起的力矩電機(jī)輸出力矩波動(dòng)，從而提高系統(tǒng)性能。

未校正前電流環(huán)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

采用PI 實(shí)現(xiàn)電流環(huán)控制，控制器的傳遞函數(shù)如下形式：

根據(jù)工程的實(shí)際情況，此處取電流環(huán)的開(kāi)環(huán)截止頻率為 1 800~2 000 rad / s，此時(shí)取電流環(huán)校正函數(shù)為

可得電流環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

為計(jì)算方便，忽略分子、分母的高階系數(shù)項(xiàng)，將上式簡(jiǎn)化為一階環(huán)節(jié)，得到式：

加入校正環(huán)節(jié)后，電流環(huán)的開(kāi)環(huán)bode 圖如圖3所示。

控制后開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的截止頻率為 1 910 rad / s，相位裕度為87.1°。

(a)控制后電流環(huán)bode圖

(b)電流環(huán)單位階躍響應(yīng)

圖3 電流環(huán)的開(kāi)環(huán)bode圖

3.2 位置環(huán)PID控制

PID 控制采用比例- 積分- 微分控制的基本形式。本文位置環(huán)PID 校正整定采取臨界比例法。

對(duì)PID 控制穩(wěn)定環(huán)回路輸入0.1 rad 的階躍信號(hào)和0.5 N·m 的干擾力矩，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖4 所示。

從圖4 可以看出，采用常規(guī)PID 控制后，系統(tǒng)超調(diào)為18.5%，調(diào)節(jié)時(shí)間為0.12 s，當(dāng)輸入常值干擾力矩后，穩(wěn)定回路的最大動(dòng)態(tài)干擾誤差為0.014 9 rad，穩(wěn)定誤差最終趨于0。

(a)階躍響應(yīng)下陀螺輸出

(b)干擾力矩下陀螺輸出

圖4 系統(tǒng)響應(yīng)的曲線圖

4   H_∞混合靈敏度設(shè)計(jì)問(wèn)題

控制混合靈敏度優(yōu)化目前運(yùn)用廣泛的設(shè)計(jì)方法，它可以將系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和性能要求轉(zhuǎn)化為H∞ 標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，再采用DGKF 方法，通過(guò)求解一個(gè)或兩個(gè)Riccati 方程，求解出控制器。

混合靈敏度加權(quán)的控制結(jié)構(gòu)如圖5 所示，其中r 為參考輸入、e 為跟蹤誤差、u 為控制輸入、d 為干擾輸入、y為系統(tǒng)輸出、G(s)為控制對(duì)象、W₁、W₂、W₃為權(quán)函數(shù)、K (s )為控制器。r對(duì)e、u、y的傳遞函數(shù)分別為

其中， S 和T 分別被稱為靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)，二者滿足：T (s) = I ? S (s)。靈敏度函數(shù)S (s)是決定跟蹤誤差大小的重要指標(biāo)，S (s)增益越低，系統(tǒng)的跟蹤誤差越小，故系統(tǒng)響應(yīng)的品質(zhì)指標(biāo)越好；而補(bǔ)靈敏度函數(shù)T (s)是決定系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的重要指標(biāo)，降低T (s)增益可以減小模型不確定性對(duì)系統(tǒng)的影響。但由于T (s) = I ? S (s)，不可能同時(shí)降低S和T的增益，通常干擾信號(hào)多為低頻信號(hào)，系統(tǒng)不確定性發(fā)生高頻，因此在選擇權(quán)函數(shù)上可以對(duì)二者進(jìn)行分頻段折衷。

圖5 混合靈敏度控制框圖

由圖5 所示，干擾d 到的傳遞函數(shù)分別為，混合靈敏度問(wèn)題的框架為

其中，增廣對(duì)象模型為

簡(jiǎn)單推導(dǎo)可得，

上式右端為目標(biāo)函數(shù)的線性分式變換形式。因此，使系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定且滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)ψ ∞ <1的控制器K (s)的問(wèn)題，就可以歸結(jié)為求增廣被控對(duì)象G s H( )所對(duì)應(yīng)的H_∞ 標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)問(wèn)題，解K (s)的問(wèn)題。

在本文中，圖5中的G(s)即為力矩電機(jī)、平臺(tái)臺(tái)體、液浮陀螺三者組成的總被控對(duì)象，代入具體數(shù)值：

按照?qǐng)D5 混合靈敏度控制結(jié)構(gòu)，設(shè)給定信號(hào)為0，可將圖2 等效變換為H_∞標(biāo)準(zhǔn)控制結(jié)構(gòu)，如圖6 所示。虛線框即為增廣對(duì)象，它包含原控制對(duì)象 G(s) W1 、W2 、W3 三個(gè)權(quán)函數(shù)。

圖5 方位穩(wěn)定回路H_∞標(biāo)準(zhǔn)控制結(jié)構(gòu)圖

5   混合靈敏度H_∞控制器的設(shè)計(jì)

5.1 權(quán)函數(shù)的選擇

應(yīng)用混合靈敏度方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，加權(quán)陣的選取是重中之重，它決定了系統(tǒng)靈敏度函數(shù)和補(bǔ)靈敏度函數(shù)頻域特性的形狀，進(jìn)而直接決定了整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)、穩(wěn)態(tài)性能及魯棒性的好壞。加權(quán)陣的選取需要遵循以下規(guī)則：

1）最終設(shè)計(jì)的控制器和廣義被控對(duì)象同階，因此在滿足設(shè)計(jì)要求的情況下，盡量降低加權(quán)陣的階次。

2）靈敏度函數(shù)S (s)決定了系統(tǒng)的跟蹤性能，它越小表明系統(tǒng)抑制擾動(dòng)能力越強(qiáng)，系統(tǒng)的跟蹤性能越好，

由于，因此截止頻率應(yīng)在低頻段且滿足低通高增益。

3）為控制量限制權(quán)函數(shù)，為了不增加控制器階次通常選擇一常數(shù)。

4）為對(duì)象不確定性界函數(shù)，它決定了系統(tǒng)魯棒邊界，其幅頻特性包含所有未建模動(dòng)態(tài)，而未建模動(dòng)態(tài)往往呈高頻特性，因此其要求在低頻增益小，高頻增益大，并且其截止頻率需大于截止頻率。

根據(jù)以上規(guī)則，反復(fù)試湊，最終選定

和的幅頻曲線如圖6 所示。從圖中可以看出設(shè)計(jì)的權(quán)函數(shù)較好滿足了的高增益低通和的高通濾波特性。

圖6 權(quán)函數(shù)和的幅頻曲線

5.2 H∞控制器的設(shè)計(jì)

本文的控制對(duì)象傳遞函數(shù)存在虛軸上的極點(diǎn)，故在設(shè)計(jì)H_∞ 控制器的時(shí)候需先進(jìn)行雙線性變換將虛軸極點(diǎn)移位，待設(shè)計(jì)好后在將以為極點(diǎn)還原，最終運(yùn)用MATLAB 魯棒控制工具箱中的hinfsyn 函數(shù)，得到的魯棒控制器的形式為：

圖 7(a)(b) 分別給出了描述系統(tǒng)靈敏度函數(shù)S(s)和權(quán)函數(shù)、補(bǔ)靈敏度函數(shù)T (s) 與權(quán)函數(shù)與頻率ω 關(guān)系的奇異值曲線。

圖7 奇異值曲線

WS 1 代表對(duì)系統(tǒng)跟蹤和干擾抑制性能的要求，應(yīng)滿足這一必要條件，即從圖7(a) 中可以看出，所設(shè)計(jì)控制器滿足系統(tǒng)性能要求。W₃T代表對(duì)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性的要求，應(yīng)滿足這一必要條件，即滿足從圖7(b) 中可以看出，從圖中可以看出補(bǔ)靈敏度函數(shù)在高頻段受到抑制，所設(shè)計(jì)的控制器滿足系統(tǒng)性能的要求。

圖8 H_∞控制下的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)曲線

從圖8 中可以看出，系統(tǒng)的截止頻率ωc =149 rad / s，相位裕度為74.8°，滿足精度和魯棒穩(wěn)定性要求。低頻段系統(tǒng)表現(xiàn)為-60 dB/dec，這說(shuō)明系統(tǒng)對(duì)階躍響應(yīng)必為無(wú)靜差系統(tǒng)，具有很好的穩(wěn)定性，并且由于系統(tǒng)低頻段有較高的分貝值，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度；中頻段以-20 dB/dec 穿過(guò)0 dB 線且具有一定的寬度，從相位裕度也可以看出系統(tǒng)有較好的平穩(wěn)性；在高頻段系統(tǒng)表現(xiàn)為-60 dB/dec，這表明系統(tǒng)有較好的噪聲抑制能力。

(a)階躍響應(yīng)下陀螺輸出

(b)干擾力矩下陀螺輸出

圖9 系統(tǒng)響應(yīng)曲線

對(duì)H_∞控制穩(wěn)定回路輸入0.1 rad的階躍信號(hào)和0.5 N·m 的干擾力矩，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖9 所示。

從圖9 可以看出，采用H∞ 控制后，系統(tǒng)的超調(diào)量?jī)H為13.7%，調(diào)節(jié)時(shí)間僅為0.089 s，當(dāng)輸入常值干擾力矩后，穩(wěn)定回路的最

大動(dòng)態(tài)干擾誤差為0.013 7 rad， 穩(wěn)態(tài)誤差趨于0。通過(guò)PID 控制和H_∞ 控制的對(duì)比，可以看出，系統(tǒng)的超調(diào)量超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和抗干擾能力都明顯得到了明顯改善。

6   結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用H_∞ 混合靈敏度控制策略對(duì)液浮陀螺穩(wěn)定回路進(jìn)行控制，通過(guò)選擇合適的加權(quán)函數(shù)，使控制結(jié)果在跟蹤和抗擾方面都有了顯著的提高，通過(guò)仿真，驗(yàn)證了采用H_∞ 控制器的穩(wěn)定回路較傳統(tǒng)PID 雙環(huán)控制器的穩(wěn)定回路具有更好的跟蹤性能和抗擾性能，從而證實(shí)了此方法的有效性。

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2021年1月期）